振動工学についての質問です。

こちらの問題が分からなくて困っているので教えていただきたいです。
(A)に関しては、ばねの自然長からPの釣り合い1までの距離をxsと置き、釣り合い位置からのPの座標をxと置くことで x0=xs+xと表し、それを運動方程式に代入して整理することで mx"=kx がPの運動方程式になり、Qの運動方程式は mx"=0 になるのではないかと考えましたが、(B)の振幅を求めようとするとx0を用いて表せとなっていてPの運動方程式を解いてもx0が出てこないので困っています。
根本的な考え方が間違っているのかどうかも分からなくなってしまったので分かりやすく解説していただけると助かります。

質問者からの補足コメント

• 画像見にくかったので補足させていただきます
  
  ばね定数kのばねの一端を天井に固定し他端に質量mの物体pをつるし、糸で物体pから質量mの物体qをつるし、この状態で釣り合っている。バネが無負荷な状態の時の物体pの位置を原点とし、鉛直上向きにx軸をとる。重力加速度の大きさをgとする。糸は非常に長いため物体同士が衝突することは無い。バネと糸の質量、及び空気抵抗は無視できると仮定する。
  物体qをつりあいの位置から鉛直下方へ移動させ、物体pの座標がx=x0(x0<0)の位置で止めた。その後、物体qを静かに離すと糸が張ったまま物体pは物体qと一体となって振動した。糸の張力をTとする。物体qを離した瞬間からの時間をtとする。
  
  (A)物体p及びqの運動方程式をそれぞれ時間に関する2階の常微分方程式で表せ。
  (B)この振動の振幅をk,m,x0,gを用いて表わせ

    補足日時：2024/05/23 20:26

• yhr2さんの回答に対する補足です
  まず1つ、Qがない場合のPのみの場合の運動方程式の立式および微分方程式を解くことはできます。
  また、1つ目の回答の状態によって異なるはその通りですが、問題文でPとQは糸が張った状態のまま一体となって運動すると記述があるのでそちらに従って解説お願いしたいです。
  
  それと、この問題は糸が張っている場合は1自由度の強制振動の問題という認識であっていますでしょうか。

    補足日時：2024/05/23 21:13

• 一応解けたのですがこんな感じで合ってるでしょうか

  
    補足日時：2024/05/24 16:00

• 一応解けたのですがこんな感じで合ってるでしょうか

  
    補足日時：2024/05/24 16:58

• 運動方程式の立式は間違っていましたね
  P,Qのそれぞれの変位をx1,x2と置いて運動方程式を立てると
  
  m(x1)"=-kx1-mg-T
  m(x2)"=T-mg
  
  となって、糸の長さをlと置き
  x2+l=x1 (x2<x1)
  とすると
  (x1)"=(x2)"
  より
  2m(x1)"=-kx1-2mgとなりこれを解くと
  
  x1=(x0+2mg/k)cos(t×√k/2m)-2mg/k
  
  となって振幅はx0+2mg/kですね
  
  振幅は回答者さんはx0と仰ってましたが基準点をつりあいの位置ではなく自然長の位置に取っているので自然長からx0下げた場合つりあいの位置である-2mg/kを考慮して振幅はx0+2mg/kとなると思います。
  
  理解出来たのでこれにて締めさせて頂きます
  回答してくださってありがとうございました

    補足日時：2024/05/29 17:52

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/26 21:08

No.1～4 です。

＞一応解けたのですがこんな感じで合ってるでしょうか

合っていません。
「P と Q は一体で動く」といっていながら、何で運動方程式が異なるのですか？

Ｐの運動方程式の「2mg」ってなんですか？

#3 に書いたように
　mx'' = -(1/2)kx
を解けば
　x = C1･sin(ωt) + C2･cos(ωt)
　ω = √[k/(2m)]
で、初期条件 t=0 のとき x=x0 なので
　x0 = C2
よって
　x = C1･sin(ωt) + x0･cos(ωt)

これを微分すれば
　v = dx/dt = C1･ω･cos(ωt) - x0･ω･sin(ωt)
で、初期条件 t=0 のとき v=0 なので
　0 = C1･ω
ω≠0 なので
　C1 = 0

よって
　x = x0･cos(ωt)

従って、この振動の振幅は
　|x0| = -x0　（x0 < 0 だから）

「P と Q は一体で動く」条件で、最初に |x0| だけ引張って手を放したのだから、高校物理の知識でも明らかにこうなりますよね。

あなたの解答の
　2mg/k
とは、バネの自然長から、P と Q を吊り下げて「静止した位置」までの距離ですよね？
それは「振動の中心点」であって、「振幅」には関係しません。

上のようなことが理解できているかどうかわからなかったので、 #2 で

＞まずは「基本」として、「Ｑがない、Ｐだけのときの運動方程式」は書けて、それを解くことはできるのですか？

と聞いたのですよ。（その時点では「P と Q は一体で動く」とは読み取れていなかったので、こういう書き方をしました）

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/24 10:23

No.1&2&3 です。

まだ先に進んでいない？

#2 に書いたように、ＰとＱが一体で動けば、加速度、速度、変位は共通です。
従って、

＞mx"=kx がPの運動方程式になり、Qの運動方程式は mx"=0 になるのではないかと考えました

になるはずがないでしょう。

Ｐの運動方程式は
　mx'' = -mg - kx - T　　　　①
（復元力は変位と逆方向だから「-kx」になる）

Ｑの運動方程式は
　mx'' = -mg + T　　　　②

でしょう。

①②から、必然的に
　-kx - T = T
→　T = -(1/2)kx
と求まります。

それを①②のどちらに代入しても
　mx'' = -mg - (1/2)kx
という運動方程式が得られます。
始めから「P, Q をつるして静止した位置を x=0」にするのであれば
　mx'' = -(1/2)kx
になります。

あとは #2 で確認した『「Ｑがない、Ｐだけのときの運動方程式」は書けて、それを解くことはできるのですか？』が「Yes」ならできるでしょ？

＞この問題は糸が張っている場合は1自由度の強制振動の問題という認識

「強制振動」ではなく「単振動」でしょう。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/23 23:04

No.1&2 です。

＞問題文でPとQは糸が張った状態のまま一体となって運動すると記述がある

ぼやけていて問題文がほとんど読めませんが、そう書いてあるのであればそういう条件で解くのでしょうね。
そうであれば、問題はより単純に解けるはずですが？

Ｐ：自身の重力、バネからの復元力、糸の張力を受ける。
Q：自身の重力、糸の張力を受ける。バネの復元力は受けない。

張力は、Ｐ、Ｑそれぞれで同じ大きさで逆向き。
一体で動けば、加速度、速度、変位は共通。

その条件で運動方程式を立てればよいだけ。
運動方程式を解いて「速度」「変位」が求まれば、「速度が 0 となるところ」が最大振幅位置です。
速度が 0 となる時刻を求めて、それを「変位」の式に代入すれば最大振幅の変位が求まります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/23 20:33

No.1 です。

まずは「基本」として、「Ｑがない、Ｐだけのときの運動方程式」は書けて、それを解くことはできるのですか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/23 20:30

Ｐが鉛直上向きに運動するときには、糸を介してＱを引っ張りますよね。

そのときには「ＰとＱは同じ運動をする」ことになります。
ＰとＱとの間に介在するのは「糸の張力 T」です。このときには T>0 です。

逆にＰが上端で静止したとき、Ｑは惰性でまだ上向きに運動しているかもしれません。
そのときには「糸の張力 T」は「ゼロ」になって「糸がたるむ」かもしれません。
そのときには、「ＰとＱは別々に異なる運動をする」ことになります。

つまり、ＰとＱの運動方程式は場合によって変わります。

まずはそれを理解しないと、先には進みませんね。