写真の命題1.3の証明についてですが、赤線部に書いてあることがわからないです。 なぜ命題1.2にδ0

写真の命題1.3の証明についてですが、赤線部に書いてあることがわからないです。
なぜ命題1.2にδ0＝min{c-a,b-c}を代入すると命題1.3が示せるのでしょうか？赤線部に「なぜならば…」
と理由も書いてありますがその部分もわからないです
解説おねがいします。
写真: https://d.kuku.lu/wzzrhrcac

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/22 04:53

訂正します

②命題2(ii)の「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」の部分と
命題3(ii)の「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす｣の2つについててすが、
この2つは結局、｢0<|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす｣
と読み替えてはいけない

δ0=min{c-a,b-c}
とするから

命題2(ii)
「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」
0<δ≦δ0
となるような
δが存在する
ならば

0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min(b-c,c-a)
だから
a<x<c.or.c<x<b
だから
x∈I-{c}=(a,b)-{c}
が成り立つから

命題3(ii)
「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす｣
0<δ
となるような
δが存在する
と

命題2(ii)から命題3(ii)がいえるのです

δ0=min{c-a,b-c}
が
なければ

命題2(ii)
「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」
0<δ≦δ0
となるような
δが存在しても

0<|x-c|<δ
であっても

x∈I/{c}となるとは限らないから

「
0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす
」
がいえないから

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するとはいえない

x∈I/{c}が成り立つようにするために
δ0=min(b-c,c-a)が必要なのです

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/21 20:42

命題1.2(ii)

0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
から

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在する
を
証明する場合は

命題1.2(ii)は
0<δ≦δ0
となるようなδが存在するといっているのだから
δ≦δ0とならないことはありえないのです
0<δ≦δ0は証明すべきことではなく条件なのです

命題1.2(ii)は
0<δ≦δ0
となるようなδが存在する条件が成り立つなら

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するかを証明するのです

命題1.2(ii)から
0<δ≦δ0=min(b-c,c-a)となるδが存在するのだから

0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min(b-c,c-a)
だから
a<x<c.or.c<x<b
だから
x∈I-{c}=(a,b)-{c}
が成り立つ
x∈I-{c}かつ|x-c|<δ
が成り立つから
|f(x)-A|<Cεをみたす
から
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するから

命題1.3(ii)が成り立つのです

逆に
命題1.3(ii)から
命題1.2(ii)を証明する場合は
0<δ≦δ0となるδが存在することを証明しなければならないのです

命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δ'ならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ'が存在する
から
命題1.2(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
を証明する場合は
δ=min(δ0,δ')
とすると
0<δ=min(δ0,δ')≦δ0
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ=min(δ0,δ')≦δ'だから
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
から|f(x)-A|<Cεをみたすから
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在するから
命題1.2(ii)が成り立つ

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/15 11:04

①

命題2(ii)は
0<δ≦δ0
となるδがあるといっているのです
だから
命題2(ii)が成り立てば
命題3(ii)
0<δ
となるδがある
が成り立つのです

命題2(ii)→命題3(ii)は無条件に成り立つのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/14 09:45

①

命題3(ii)のδがδ<δ0である必要はありません

命題3(ii)の
δが
δ>δ0
であってもよいのです

だから
命題2(ii)の δ≦δ0　と
命題3(ii)の δ(>δ0であってもよい) を　区別するために

命題3(ii)の δをδ'とするのです

命題3(ii)の δをδ'とすると

命題3(ii)
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ'が存在し,
0<|x-c|<δ'ならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
となるのです
そして
このδ'に対して
δ=min(δ',δ0)
とすれば
0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ=min(δ',δ0)≦δ' だから

x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす

となるのです

②
I=(a,b)
の場合はそれでよいです

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。①についててですが、以下のように解釈するのはどうでしょうか？
命題3（ii)ではδ>0となっているが、命題3が成り立つことを証明するために命題2(と同じ形にしたいから命題2(ii)の0<δ<δ0という不等式を用いたい。
ここでx∈I=(a,b)/{c}ということより
0<|x-c|<min{b-c,c-a}だから写真の命題3(ii)のようにある数δ>0を用いると
0<|x-c|<δ≦min{b-c,c-a}で、ここでmin{b-c,c-a}=δ0とすれば、δが0<δ≦δ0を満たしているから命題2(ii)が適応できる。

お礼日時：2024/06/15 10:38

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/12 13:21

＞ ε0>0,δ0>0と書かれています

∀ε0>0, ∀δ0>0, ...　って命題なの？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/11 13:57

「命題1.2の記号」というが、リンク先の命題1.2の記述には

ε0, δ0 の定義が無く、何言ってんのか判らない。
写真よりも前の文脈に、なにか説明があったのだろうか？

この回答へのお礼

ε0>0,δ0＞0と書かれています

お礼日時：2024/06/11 15:27

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/11 11:20

I=(a,b)とおく

a<c<b
f:I-{c}→R
ε0>0
δ0=min{c-a,b-c}
A∈R
とする

命題1.2から
次の(i),(ii')は同値である

(i)fはcで極限Aをもつ

(ii')
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ≦δ0が存在し,
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす

(ii)
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δが存在し,
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす

(ii')→(ii)の証明

あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ≦δ0が存在し,
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
とする
このδに対して
0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min{c-a,b-c}だから
x<cのとき
|x-c|=c-x<c-a→a<x<c
x>cのとき
|x-c|=x-c<b-c→c<x<b
だから
(a<x<c).or.(c<x<b)
だから
x∈(a,b)-{c}=I-{c}
を満たすから
x∈I-{c}かつ|x-c|<δ
だから
|f(x)-A|<Cεをみたすから
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす

(ii)→(ii')の証明

あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ'が存在し,
0<|x-c|<δ'ならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
とする
δ=min(δ',δ0)
とする
x∈I-{c}かつ|x-c|<δ
とする
δ≦δ0
0<|x-c|<δ≦δ'
だから
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
から
|f(x)-A|<Cεをみたす

∴
(ii'),(ii)は同値だから
(i),(ii')は同値だから
∴
(i),(ii)は同値

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
2つ確認したいことがあります
①命題3(ii)についてですが、｢δ>0が存在する｣と書かれていますが、このδは0<|x-c|<δを満たすことと、I=(a,b)であることからδ<min{c-a,b-c}だからmin｛c-a,b-c｝=δ0とおいて、無理矢理？0<δ<δ0と考えて命題2(ii)と同じ形にしているという理解でよろしいでしょうか？
②命題2(ii)の「x∈I/{c}かつ
|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」の部分と
命題3(ii)の「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす｣の2つについててすが、
この2つは結局、｢0<|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす｣と読み替えても(そのような解釈でも)よいでしょうか？

お礼日時：2024/06/14 06:55