閉曲線C

任意の閉曲線Cとそれによって縁取られる曲面Sについて
∫∫gradf × ndA=∫ｒgradf‧dr （ｎ、ｒはベクトル）

を証明したいです。
教えて欲しいです

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/28 18:08

【訂正】

②からのベクトル表示が可笑しいので訂正。

ベクトル<A>のx,y,z成分を <A>_x, <A>_y, <A>_z と書くと

<F>=x∇f のとき
　∲(<r>_x)∇f・dr=∲x∇f・dr=∲<F>・dr=∫∇×<F>・<n>dA
　　　=∫((∇x)×∇f)・<n>dA=∫(-ny∂zf+nz∂yf)dA=∫(∇f×<n>)_x dA
つまり、
　∲(<r>_x)∇f・dr=∫(∇f×<n>)_x dA

同様に、<F>=y∇f, <F>=z∇f として
　∲(<r>_y)∇f・dr=∫(∇f×<n>)_y dA
　∲(<r>_z)∇f・dr=∫(∇f×<n>)_z dA
を得る。

これらのx,y,z成分の式をベクトル表示すると
　∲<r>∇f・dr=∫∇f×<n> dA
を得る。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/28 11:59

∇×<F>=∇×(x∇f)=(∇x)×∇f

　　　=<1,0,0>×∇f=<0,-∂zf,∂yf>
でした。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/28 11:49

分かりにくいが、ベクトルを<F>、∂f/∂x → ∂xf などと書く。

また、<n>=<nx,ny,nz>

ストークスの公式
　∫∇×<F>・<n>dA=∲<F>・d<r>・・・・・①
を使う。

1.　①の左辺

まず、<F> → x∇f として、左辺を考える。公式から
　∇×<F>=∇×(x∇f)=(∇x)×∇f
だから
　∫∇×<F>・<n>dA=∫((∇x)×∇f)・<n>dA
　　　=∫(<1,0,0>×∇f)・<n>dA=∫<0,-∂zf,∂yf>・<n>dA
　　　=∫(-ny∂zf+nz∂yf)dA
同様に <F> → y∇f, <F> → z∇f とすると
　∫((∇y)×∇f)・<n>dA=∫(nx∂zf-nz∂xf)dA
　∫((∇z)×∇f)・<n>dA=∫(-nx∂yf+ny∂xf)dA
となる。

すると
　<F>=<r>∇f=<x∇f, y∇f, z∇f> ・・・・・②
とすると
　∫∇×<F>・<n>dA
　　=∫<-ny∂zf+nz∂yf, nx∂zf-nz∂xf, -nx∂yf+ny∂xf>dA
　　=∫<nz∂yf-ny∂zf, nx∂zf-nz∂xf, ny∂xf-nx∂yf>dA
　　=∫(∇f×<n>)dA

2.　①右辺
②とすると
　∲<F>・d<r>=∲<r>∇f・d<r>

だから結論を得る。