確率の求め方

くじ箱に当たり1本、ハズレ1本が入っている場合、当たりを引いた回数がハズレを引いた回数より
多くなるまで引くとします。
(1回目が当たりならそこで終わり。1回目がハズレなら2回目、3回目が当たりなら終わり)
この場合、ｎ回目で終わる確率はどのような計算式になるでしょうか。
当然ですが引いたくじは戻すものとします。

また一般解として、くじ箱に当たりX本、ハズレY本が入っている場合、当たりを引いた回数が
ハズレを引いた回数よりZ回多くなるまで引いた場合のｎ回目で終わる確率の計算式もお願いします。
こちらも引いたくじは戻すものとします。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  リンク先を見て、おおっこれだ！と思ったのですが、x=y=z=n=1でN=2の場合で0.5
  破産しないで終了＝全体－破産して終了＝1-0.5＝0.5…おや？
  1回目で終了は0.5。3回目で終了は負け、勝ち、勝ち、しかないから0.125。5回目は…以下略
  確率が-になることはないから少なくとも0.625以上…おや？
  
  あっ、今回は破産点がな～い！

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/09/01 07:01

No.5 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/09/03 20:21

C[　,　]を二項係数、p=√(X/Y)とすると

|C[n-1,(n+Z)/2]-C[n-1,(n-Z)/2]| p^Z/(p+1/p)^n
ですかねぇ…？

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/08/31 16:04

あんまり考えてない.

上は「かっこの釣り合い」に帰着することができて, それについてはたぶん教科書レベルの話. あたりまえだけど n が偶数のときには確率が 0 になる.

下は, たぶん Z の扱いに困って「うん, 無理」で終わると思う. 漸化式が書けても解けないんじゃないかなぁ.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/31 13:51

ランダムウォークの応用で有名な、

「ギャンブラーが破産する確率」の問題ですね。
https://manabitimes.jp/math/973
↑の解法を、
ハズレを引くことを「勝ち」
アタリを引くことを「負け」と考えて、
p = Y/(X+Y),
n = Z
であてはめ、
N → ∞ の極限を取ればよいです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/31 11:03

No.1 です。

あ、後半の二項分布の確率を書き忘れ。
n 回試行して r 回当たる確率は

P'(n, r) = nCr × [X/(X + Y)]^r × [Y/(X + Y)]^(n - r)

ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
二項分布まではわかってたのですが、問題は3回目にたどり着くには1回目がハズレでなくてはならない。（1回目が当たりならそこで終わりだから）
5回目にたどり着くには3回引いた時点で2回ハズレてなくてはならない
（かつ3回目にたどりついているから1回目はハズレでなくてはならない）
7回目に…以下略

この辺の処理がわからないので質問しました
たぶんｎ回目で終了の確率からｎ-1回目で終わる確率を引けばいいとは思うのですが…

お礼日時：2024/09/01 06:29

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/31 11:00

前半は、n 回目で終わるには

(A) (n - 1) 回目までは、毎回当たり回数 ≦ ハズレ回数である
(B) (n - 1) 回目では、当たり回数 = ハズレ回数である
(C) n 回目で「当たり」を引く
という３つの条件を満足する必要があります。

その確率を求めればよいでしょうね。

確率 1/2 のくじを引く事象は「二項分布」ですから、n 回試行して r 回当たる確率は
　P(n, r) = nCr × (1/2)^r × (1 - 1/2)^(n - r)
　　　　= nCr × (1/2)^n
です。

これを使って (A)(B)(C) を表わして、それを解けばよいです。

後半は、その条件が
(A') (n - 1) 回目までは、毎回当たり回数 ≦ ハズレ回数 + Z - 1 である
(B') (n - 1) 回目では、当たり回数 = ハズレ回数 + Z - 1である
(C') n 回目で「当たり」を引く
に替わります。