確率の問題

ネット上で見つけた確率の問題の変形ヴァージョンです。
「袋の中に赤玉と青玉が全部で１００個入っており、赤玉の個数は１～９９個以内のどれかから無作為に選ばれた個数が入っている。つまり、この範囲内のどの個数であっても、同じ確率で選ばれているとする。袋から１個の玉を取り出すと、赤玉であった。この場合、赤玉が６０個以上である確率を求めよ」
これは、素直に６０/９９=２０/３３で約６０％程度だと思うのですがどうでしょう？別に赤玉が取り出されたからと言って、特に確率が変わるわけではないと思うのですが？

質問者からの補足コメント

• 回答をいただいた後でいうのもなんですが、60/99ではなく、39/99=13/33となるのではないかと思います。

    補足日時：2024/09/29 21:42

• 申し訳ありませんが、更に補足です。玉を取り出す前に、袋の中に、赤玉が６０個以上入っていた確率ということです。が、取り出した後に、赤玉が６０個以上入っている確率を求めよ、ということでも別にかまいません。

    補足日時：2024/09/29 21:52

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/30 08:42

＞ 取り出した後に、赤玉が６０個以上入っている確率を求めよ

＞ ということでも別にかまいません。

取り出した後に赤玉が６０個以上入っているというこなら、
赤玉を取り出す前に赤玉が６1個以上入っていたの言い換えだから、

Prob[赤玉が61個以上｜取り出した玉が赤]
= Σ[k=61..99] (1/99) (k/99) / Σ[k=1..99] (1/99) (k/99)
= Σ[k=61..99] k / Σ[k=1..99] k
= 1 - Σ[k=1..60] k / Σ[k=1..99] k
= 1 - { (1+60)60/2 } / { (1+99)99/2 }
= 104/165
≒ 0.630

約 63%

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/30 05:36

赤玉が60個以上である確率は

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/09/30 00:00

私はベイズで計算したら、0.642424242 になりました。

No.2様と同じ結果です。

１～99までの各事象は無情報一様分布と考えました。

以下は計算の一部です。

・事前確率は1/99で、全て同じです。
・各条件付き確率はN/100です。筆頭事象が生起しているときに赤が出る確率です。
・周辺確率は0.5になりました。そこから各事後確率を計算しています。
・そのうえで、N＞60の事後確率の和を取りました。


事象(N個)　事前確率　　条件付確率　　前記の積　　　　事後確率
1　　　　0.01010101　　　0.01　　0.00010101　　0.00020202
2　　　　0.01010101　　　0.02　　0.00020202　　0.00040404
3　　　　0.01010101　　　0.03　　0.00030303　　0.00060606
4　　　　0.01010101　　　0.04　　0.00040404　　0.00080808
5　　　　0.01010101　　　0.05　　0.00050505　　0.00101010
6　　　　0.01010101　　　0.06　　0.00060606　　0.00121212
7　　　　0.01010101　　　0.07　　0.00070707　　0.00141414
・　　　　　　・
・　　　　　　・　　　　　以下略
・　　　　　　・
・　　　　　　・
99

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/29 21:44

条件 Ｐ の下に事象 Q が起こる確率を Prob[Q｜P] と書くことにする。

Prob[Q｜真] を Prob[Q] と略記する。
条件付き確率の定義として Prob[Q｜P] = Prob[Q∧P] / Prob[P] が言える。

Prob[赤玉が60個以上｜取り出した玉が赤]
= Prob[赤玉が60個以上∧取り出した玉が赤] / Prob[取り出した玉が赤]
= Σ[k=60..99] Prob[赤玉がk個∧取り出した玉が赤] / Prob[取り出した玉が赤]
= Σ[k=60..99] Prob[赤玉がk個] Prob[取り出した玉が赤｜赤玉がk個]
　/ Σ[k=1..99] Prob[赤玉がk個] Prob[取り出した玉が赤｜赤玉がk個],

Prob[赤玉がk個] = 1/99,
Prob[取り出した玉が赤｜赤玉がk個] = k/99.

よって、
Prob[赤玉が60個以上｜取り出した玉が赤]
= Σ[k=60..99] (1/99) (k/99) / Σ[k=1..99] (1/99) (k/99)
= Σ[k=60..99] k / Σ[k=1..99] k
= 1 - Σ[k=1..59] k / Σ[k=1..99] k
= 1 - { (1+59)59/2 } / { (1+99)99/2 }
= 106/165
≒ 0.642

だいたい 64% くらい。

No.1 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/09/29 21:32

普通の高校数学ではおそらく解けない問題だと思います。

ベイズの定理が必要だと思われます。
その上でいうと、40/99です。

ベイズの定理を用いて、
P(R≧60|)=P(|R≧60)P(R≧60)/P()という式が成り立ちます。
これを解いて、
(99-60+1)/99=40/99

したがって40/99です。