数学、物理が得意な方に質問です! エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。 ただしエルミート多

数学、物理が得意な方に質問です!


エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。
ただしエルミート多項式の漸化式は使わないものとします。

∫[-∞→∞]Hm(x)Hn(x)exp(-x^2)dx=2^n n!√πδ[m,n]を導く


exp(2tx-t^2)=Σ[m:0→∞]Hm(x) t^m /m!
exp(2sx-s^2)=Σ[n:0→∞]Hn(x) s^n /n!とします。


Σ[m:0→∞]Σ[n:0→∞]t^m s^n/(m! n!) ∫[-∞→∞]Hm(x) Hn(x) exp(-x^2)dx=Σ[n:0→∞]2^n √π t^n s^n/n!ここまで導くことができました。

m=nのとき


Σ[n:0→∞]Σ[n:0→∞]t^n s^n/(m! n!) ∫[-∞→∞]Hn (x)Hn(x) exp(-x^2)dx=Σ[n:0→∞]2^n √π t^n s^n/n!

左辺にΣ記号が2個ありΣが1個なら計算できます。2個あり、どう処理したらいいかわかりません。

m≠nのとき

まったくわかりません。

3ヵ月ぐらい悩んでます。



質問文を読まずにchat gptの利用や、数学、物理に縁がなくただ単語を検索しリンクを載せて回答するのは止めてください。まだ、エルミートの漸化式を使わない方法でお願いします。




漸化式を利用する方法は理解しています。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/10/22 10:11

前回も答えましたが、問題点を指摘しておきます。

>exp(2tx-t^2)=Σ[m:0→∞]Hm(x) t^m /m!
exp(2sx-s^2)=Σ[n:0→∞]Hn(x) s^n /n!

この式にm,nを使うのをやめた方がよい。m,nはダミーサフィックスであり実際のm,nについて議論する場合はダミーサフィックスの文字を別のものにしておいた方がわかりやすい。m,nをi,jに替えた方がわかりやすいでしょう。そのうえでi,jの特定の値について考えるときにm,nを代入した項を取り出すと考えた方がいい。

で
>Σ[i:0→∞]Σ[j:0→∞]t^i s^j/(i! j!) ∫[-∞→∞]Hi(x) Hj(x) exp(-x^2)dx=Σ[k:0→∞]2^k √π t^k s^k/k!　　①
(ダミーサフィックスを左辺をi,jに右辺をkに替えました。両辺のダミーサフィックスは別のものにしておいた方がわかりやすい)

まで導けたのであればこれはもう終わったも同然です。
この式をs,tについての恒等式とみるのです。
∫[-∞→∞]Hi(x) Hj(x) exp(-x^2)dxなどは全て係数と考えるのです。

s,tについての恒等式であれば、同じ次数の係数が等しいことが言えます。
で
∫[-∞→∞]Hm(x)Hn(x)exp(-x^2)dx=2^n n!√πδ[m,n]
について考えるためには①式で上式の積分に出てくるHm(x)Hn(x)が出てくるのは
i=m,j=nの項であることがわかる。でi=m,j=nの時t,sについてはt^m*s^nとなり、この次数の項は左辺には1項しかないことは明らか。
で右辺でt^m*s^nとなる項はm≠nの場合は存在しないため、係数は0になることがわかる。
m=nの場合はk=nとなる項だけが該当するため、その係数を比較することで求める式を得られる。

念のために確認するけど、①を導くのに
∫[-∞→∞]Hm(x)Hn(x)exp(-x^2)dx=2^n n!√πδ[m,n]
の式を使っていませんよね?
もし使っていると循環論法になるのでだめです。
その場合は①の式を母関数の式を使って導出してください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

Σのとのろを初めからm,nにしたせいで理解が出来なかったことがわかりました。
ほんとうに、ほんとうに助かりました。ありがとうございました。これで量子力学の教科書が5ページほど進みました。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2024/10/27 00:16