熱力学の問題です。 答えも合わせて添付します。 自分で解いても答えと合わないので、解き方を教えてくだ

熱力学の問題です。

答えも合わせて添付します。
自分で解いても答えと合わないので、解き方を教えてください。

大気圧力、温度 300.0K，体積1.200✕10^-2m2の空気を指数n=1.200のポリトロープ変化にしたがって圧縮して体積を1/6にしたのち、等圧膨張させ、途中で断熱変化をさせて元の状態に戻す。過程は全て可逆変化として，このサイクルの供給熱量［KJ］、放熱量［kj］および熱効率を求めよ、空気の気体定数および定圧比熱は各々0.2870および1.005kj/（kg・K）とする。

答え
供給量: 1.774KJ
放熱量: 1.309KJ
熱効率 26.17%

よろしくお願いします

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/18 00:37

No.2&3 です。

「急いでます!!!」というので急いで回答しましたが、どうなっているのですか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/14 19:34

No.2 です。

一気呵成に書きましたが、理解できますか？
熱力学は、先生やテキスト本によって様々な流儀の書き方がされていますので、ひょっとすると「習ったやり方」と違うかもしれません。
分からないところがあれば、「補足」などに追記ください。

#2 にも書きましたが、途中で何度も四捨五入したり、そもそも「定積比熱 Cv」が有効数字３桁だったりしているので、最終数値の３桁目以降は計算の仕方で違いが出ると思います。
そういう細かいところではなく、考え方については理解できましたか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/12 21:21

空気を「理想気体」として扱ってよいという条件でしょうか？

その条件でやってみればよいですが、「答えと合わない」のが「有効数字の３桁目、４桁目が合わない」ということであれば、有効数字のとり方の問題かと思います。

そこに書かれている「答」の数値だけからしても
　熱効率 = (1.774 - 1.309)/1.774 = 0.262449･･･
となって、３桁目ですでに合いませんから。

一応、順番にやってみましょう。

(1) (1) 状態１：初期状態
　P1 = 1.013 × 10^5 [Pa]
　V1 = 1.200 * 10^(-2) [m^3]
　T1 = 300.0 [K]

(2) n=1.200 のポリトロープ変化、つまり
　P･V^1.2 = const
の状態で変化させ、
　V2 = (1/6)V1 = 0.200 * 10^(-2) [m^3]
にします。

ポリトロープ変化より
　P1･(V1)^n = P2･(V2)^n = c1　　　①
これより
　P2 = (V1/V2)^n･P1　　　　②
　V1/V2 = 6
　n = 1.2
より
　P2 = 6^1.2･P1 ≒ 8.6974 * 10^5 [Pa]

一方、理想気体の状態方程式は
　P1･V1 = NRT1
　P2･V2 = NRT2
なので、これを①に代入すれば
　NRT1･(V1)^(n - 1) = NRT2･(V1)^(n - 1)
→　T2 = (V1/V2)^(n - 1)･T1
　　　= 6^0.2･T1 ≒ 429.29 [K]

この変化で気体のする仕事は
　W12 = ∫[V1→V2]PdV = ∫[V1→V2](c1/V^n)dV
= -[c1/(n - 1)][1/V^(n - 1)][V1→V2]
= -[c1/(n - 1)][(1/V2)^(n - 1) - (1/V1)^(n - 1)]
ここで
　c1 = P1･(V1)^n
なので、これを代入すれば
　W12 = [P1･V1/(n - 1)][1 - (V1/V2)^(n - 1)]
　　　= [1.013 × 10^5 [Pa] * 1.200 * 10^(-2) [m^3] /0.2][1 - 6^0.2]
　　　≒ -2619.4 [J] = -2.6194 [kJ]

P1･V1 = NRT1 より、物質量は
　NR = P1*V1/T1 = 1.013 * 10^5 [N/m^2] * 1.200 * 10^(-2) [m^3] / 300[K])
　　= 4.052 [J/K]
　N = 4.052 [J/K] / 0.2870 [kJ/(kg･K] = 14.1185 [kg/k] = 0.0141185 [kg]
また、定積比熱は、マイヤーの式より
　Cv = Cp - R = 1.005 - 0.2870 = 0.718 [kJ/(kg･K)]

なので、内部エネルギーの変化は
　ΔU12 = NCv(T2 - T1) = 0.0141185 [kg] * 0.718 [kJ/(kg･K)] * (429.29 - 300)
　　　　≒ 1.3106 [kJ]

ΔU = Q - W より
　Q12 = ΔU12 + W12 = -1.3088 [kJ]


(3) ここから「等圧変化」で膨張させるが、どこまで膨張させるのかは不明。
ただし、状態方程式
　PV = NRT
より、「P が一定」なら V と T は比例する。
膨張によって
　V3 = kV2 (k>1)
となれば、
　T3 = kT2
ということになる。

とりあえず、ここではこれしか言えない。

(4) 次に「断熱変化」で初期状態に戻る。
断熱変化では、比熱比 γ = Cp/Cv として
　P･V^γ = 一定 = c2
で変化する。
これは (1)→(2) のポリトロープ変化の「n」を「比熱比 γ」に置き換えたものなので、結果は
　P4 = (V3/V4)^γ･P3 = (kV2/V1)^γ･P2
　　= k^γ･(V2/V1)^γ･(V1/V2)^n･P1
　　= k^γ･(V1/V2)^(n - γ)･P1
これが
　P4 = P1
なので
　k^γ･(V1/V2)^(n - γ) = 1
→　k^γ = (V1/V2)^(γ - n)
→　k = (V1/V2)^[(γ - n)/γ]

V1/V2 = 6,
γ = Cp/Cv = 1.005/0.718 = 1.39972･･･ ≒ 1.400
なので
　k = 6^[(1.400 - 1.200)/1.400] = 1.2917083･･･ ≒ 1.2917

よって、(3) に戻って
　V3 = 0.200 * 10^(-2) * 1.2917 = 0.25834 * 10^(-2) [m^3]
　T3 = 429.29 * 1.2917 ≒ 554.51 [K]

従って、(3) の変化で気体のする仕事は
　W23 = P2(V3 - V2) ≒ 0.50741 [kJ]

内部エネルギーの変化は
　ΔU23 = NCv(T3 - T2) = 0.0141185 [kg] * 0.718 [kJ/(kg･K)] * (554.51 - 429.29)
　　　　≒ 1.2694 [kJ]

従って、入熱は ΔU = Q - W より
　Q23 = ΔU23 + W23 =1.7768 [kJ]

(4) は断熱変化なので熱の出入りはない。

以上より

供給量（入熱）：Q23 = 1.777 [kJ]
放熱量：Q12 = -1.309 [kJ] （放出なのでマイナスで表記）
熱効率：(1.777 - 1.309)/1.777 ≒ 0.263 = 26.3%

途中で何度も四捨五入しているので、有効数字はせいぜい3桁、ひょっとすると2桁程度でしょう。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/11/12 15:53

解き方だけ。

先ずは質量mを求める。最初の状態を状態方程式に入れるだけです。

次に最初の過程終了時の圧力P1と温度T1を求める。ポリトロープ変化の満たすべき式に始状態と終状態を入れれば得られる。

最初の過程に必要な仕事の大きさW1を求める。(外からされる仕事)
W1=∫[V:V0→V1]P0*V0^n/V^n dV
理想気体の内部エネルギーは絶対温度と質量と気体定数の積である。
これから内部エネルギーの変化ΔU1が得られる。
仕事W1と内部エネルギーの変化Δ1から熱力学第1法則を使い放熱量Q1が得られる。

次に2番目の過程の終状態の体積V2と温度T2を求める。
これは2番目の過程が満たすべき式と3番目の過程が満たすべき式を連立して求める。
2番目の過程が満たすべき式は等圧膨張であるから
P=P1,P1*V=mR*T
を満たす。
3番目の過程が満たすべき式は断熱過程であり終状態が圧力P0,体積V0,温度T0であることから
p*V^κ=P0*V0^κ
を満たす。ただし、κ=cp/cvである。なお、マイヤーの式からcp=cv+R
T2はシャルルの法則から計算できる。（もちろん状態方程式から計算してもよい)

以上のことがわかれば、二つの過程での仕事W2,W3(外にする仕事)と吸熱量Q2(Q3は断熱過程だから0)を計算できる。
W2=P1(V2-V1),W2=∫[V:V2→V0]P0*V0^κ/V^κ dV
Q2=ΔU2-W2=Cp*(T2-T1) (後者から計算したほうが楽)

放熱量=Q1
供給量=Q2
熱効率=(W2*W3-W1)/(Q2)=(Q2-Q1)/(Q2)
で得られます。