この考え合っていますか？ランダム信号のフーリエ変換

エネルギーが有限の確定信号ｘの自己相関関数Rは，

Ｒ（τ）＝ｌｉｍ（Ｔ－＞∞）∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｄｔ
エネルギーが有限の確定信号ｘの自己相関関数Rは，

Ｒ（τ）＝ｌｉｍ（Ｔ－＞∞）∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｄｔ


■まず

Ｒのτに関するフーリエ変換は、

ｘのパワースペクトラムSである。

それをまず証明する。



S＝ｌｉｍ（τー＞∞）∫（－τ、τ）R（ｔ＋τ）ｅｘｐ（－ｊωτ）ｄｔｄτ

＝ｌｉｍ（T、τ-＞∞）∫（－τ、τ）∫（－Ｔ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｅｘｐ（－ｊωτ）））ｄｔｄτ



ここで技をつかう・・・
＝ｌｉｍ（T、τ-＞∞）∫（－τ、τ）∫（－Ｔ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｅｘｐ（ｊωｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｅｘｐ（－ｊω（ｔ＋τ）））ｄｔｄτ

＝ｌｉｍ（T、τ-＞∞）∫（－Ｔ，Ｔ）∫（－τ、τ）ｘ（ｔ＋τ）ｅｘｐ（－ｊω（ｔ＋τ））ｘ（ｔ）ｅｘｐ（ｊωｔ）ｄτｄｔ

ここで、τの範囲が無限だから、ｔ＋τーー＞τにできるんで、

＝ｌｉｍ（T、τ-＞∞）∫（－τ、τ）∫（－Ｔ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｅｘｐ（ｊωｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｅｘｐ（－ｊω（ｔ＋τ））ｄｔｄτ

＝ｌｉｍ（T、τ-＞∞）∫（－Ｔ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｅｘｐ（ｊωｔ）ｄｔ＊∫（－τ、τ）ｘ（ｔ＋τ）ｅｘｐ（－ｊω（ｔ＋τ））ｄτ

つまり、

Ｘ（ω）＝ｌｉｍ（Tー＞∞）∫（－Ｔ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｅｘｐ（ｊωｔ）ｄｔ

Ｘ（共役）（ω）＝ｌｉｍ（τ-＞∞）∫（－τ、τ）ｘ（τ）ｅｘｐ（－ｊωτ））ｄτ

として、
S＝Ｘ（共役）（ω）Ｘ（ω）＝｜Ｘ（ω）｜＾２



■ランダムノイズｘの場合

ランダム信号ｘのRは、

Ｒ（τ）＝ｌｉｍ（Ｔ－＞∞）∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｄｔ

　　　＝Ａδ（τ）

　　ーー＞Aは∝T　？？？たぶん・・・

S＝ｌｉｍ（τ-＞∞）∫（－τ、τ）Ａδ（τ）ｅｘｐ（－ｊωτ）ｄτ

　　　＝A

　　

つまり、　

S＝｜Ｘ（ω）｜＾２∝T

∴

｜ＸＴ（ω）｜∝√Ｔ

ーー＞つまり

∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｅｘｐ（ｊωｔ）ｄｔ∝√Ｔ

∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｄｔ∝√Ｔ

ではないか？？？

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2024/11/10 15:47

何を前提に何の話をしようとされてるのか、イマイチ掴みにくいですが、

とりあえず、
>ｌｉｍ（Ｔ－＞∞）∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｄｔ
これは、Tについて極限を取っているので、当然、Tという変数には依存しません。従って

>　　　＝Ａδ（τ）
>　　ーー＞Aは∝T　？？？たぶん・・・
のようにTという謎の変数が唐突に出てくる事はありません。

この回答へのお礼

∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｄｔ
でTが有限の場合を考えます

お礼日時：2024/11/10 22:58

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2024/11/11 21:25

うーん、細かい話は貴方の言う「ランダムノイズ」の定義次第でしょうが、

一般のx(t)に対して、
> ∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｘ（ｔ＋τ）ｄｔ
がTに比例する(またはτ=0の時にTに比例する)という事から、

>∫（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｄｔ∝√Ｔ
は導出できないので、貴方が使っている「ランダムノイズ」の性質をどう使ってそうなると思ったのかを書いてみて下さい。

ただ、
（ーＴ，Ｔ）ｘ（ｔ）ｄｔ=0
でないのなら、「ランダム」とは呼ばない事の方が多い気がします。

この回答へのお礼

ハーーーい・・・

お礼日時：2024/11/11 22:10