数学、物理が得意な方に質問です。 エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。 ただしエルミート多

数学、物理が得意な方に質問です。

エルミート多項式の直交性の導出がわかりません。
ただしエルミート多項式の漸化式は使わないものとします。

∫[-∞→∞]Hm(x)Hn(x)exp(-x^2)dx=2^n n√π δ[m,n]を導く


exp(2tx-t^2)=Σ[m,∞]Hm(x) t^m /m!
exp(2sx-s^2)=Σ[n,∞]Hn(x) s^n /n!とすると、


Σ[m,∞]Σ[n,∞]t^m s^n/(m! n!) ∫Hm(x) Hn(x) exp(-x^2)dx=Σ[n,∞]2^n √π t^n s^n/n!ここまで導くことができました。

m=nのとき


Σ[n,∞]Σ[n,∞]t^n s^n/(m! n!) ∫[-∞→∞]Hn (x)Hn(x) exp(-x^2)dx=Σ[n,∞]2^n √π t^n s^n/n!

左辺にΣ記号が2個ありΣが1個なら計算できます。2個あり、どう処理したらいいかわかりません。

m≠nのとき

まったくわかりません。

3ヵ月ぐらい悩んでます。



質問文を読まずにchat gptの利用や、数学、物理に縁がなくただ単語を検索しリンクを載せて回答するのは止めてください。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/10/19 16:14

何冊か参考書見たけど直交性を示すのに

全部e^(-x²)のｎ回微分の式を使ってた。
だからここは、その母関数による定義がよく知られた
e^(-x²)のｎ回微分の式に等しいことを確認してから
(それは比較的やさしい)
よくやられているようにするべきでは？

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/10/18 10:22

式の書き方に問題があるから混乱しているのでしょう。

>exp(2tx-t^2)=Σ[m,∞]Hm(x) t^m /m!
この書き方だと少し意味が分からない。
これはmに0から順に整数を代入したものを足していったものの極限という意味ですよね。
それなら
exp(2tx-t^2)=Σ[m:0→∞]Hm(x) t^m /m!
という風に書いてください。

ただ、この場合はできればm,nを使わずi,jを使った方がよい。
なぜならm,nを使ってしまうと、それはΣでインクリメントする変数として使っていて実際の値としてm,nという文字を使いにくくなるからです。

で、
Σ[i:0→∞]Σ[j:0→∞]t^i s^j/(i! j!) ∫Hi(x) Hj(x) exp(-x^2)dx=Σ[i0→∞]2^i √π t^i s^i/i!
の証明ができているのであればこれは終わったも同然です。

上記の式はt,sについての恒等式です。で左辺を見ると任意の非負の整数m,nに対してt^m*s^n *(係数)となる項の和だけで作られた整式であることがわかります。
当然、t.sについての恒等式となる整式ではt^m*s^nの係数は両辺で等しくなります。
右辺にはtとsは同じ指数である項しか存在しませんからm≠nとなる項の係数は0であるといえます。
m=nとなる項はi=nとなる項だけですので、その係数を比較すればよい。

それだけのことです。