数学から見たメビウスの輪

今、物理カテで質問してますが、メビウスの輪を数学としての研究も、されているようですね。

その、現在の研究では“立体(三次元)”を考慮しての研究はなされているのでしょうか。
立体であること(三次元の現象)を考慮すれば、薄い紙でも貼り合わせ部分の四隅は四カ所になる、と思うのです。

そうした研究はありますか。

質問者からの補足コメント

• 数学的には厚みを持たない輪として、研究されているのですね。
  でも、メビウスは実際の紙を用いて裏表が無くなる？と云うことを、確かめたのですよね。
  
  私は方眼紙を使って、三センチほどの幅の“メビウスの輪”を作ってみました。
  そしてそれを、丁寧に平らに“押しつぶして”みたのです。
  
  そしたら、興味深い幾何学的な形になりました。
  確かめてみませんか？
  数学的に解明したくなるような形状ですから。
  
  そして、もし思うところがあったら、ご意見を下さい

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/22 16:10

• 輪を平らに押しつぶす？と帯状に三角形ができます。
  その中心部分をたどると、最初の角で裏側になり、二つ目の角で表側に戻り、三つ目の角で裏側になります。そのまま元の位置に来ますが裏に、です。
  
  方眼紙で作ってみました。最初の出発点の一センチ上を出発点とすると、戻ってきた時には一センチ下になりました。
  この点をFという文字でやってみたら、さかさまのFになりました。向きは変わっていません。
  
  もう一周させると、中央から一センチ上の元の位置に戻りました。一周目は裏を見せていたFでしたが、二周目では表になっています。向きも変わっていません。
  
  観測視点を固定した場合、メビウスの輪に沿って、ある物体を移動させて見ると、裏・表・裏と三度？変わって見えます。もう一周させると同じく三度裏返り、元の位置に戻るのです。
  
  これは、平面上での観察ですが曲面上でも、角付近で三度の裏返りをしているのでしょう。

    補足日時：2024/12/23 14:53

• 回答をくださった皆様、有り難うございました。
  
  おかげさまで、物理的には理解が進んだ？のではないかと思います。

    補足日時：2024/12/23 15:04

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/12/22 14:47

元々の質問の回答にも書きましたが「紙の厚み」を考慮した時点で既にメビウスの輪とは言えません。

なのでメビウスの輪の研究に「紙の厚みを考慮したもの」なんて存在しません。メビウスの輪ではないわけですから。

この回答へのお礼

なるほど。

メビウスの輪の不思議を解説したものに、そうした重要なことが省かれて書かれていますが“当たり前の事”だからでしょうか。

そうした“当然のこと”を知らない私は、退散した方が良いのかも知れません。

ただ、ChatGPTでは“厚み”を強調して質問したのですが、三次元の話ではないと云った全否定は、してきませんでしたね。

お礼日時：2024/12/22 15:17

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/12/22 14:40

そもそもメビウスの輪は物理学ではなく数学の研究対象ですから、研究するとすれば数学としての研究しかあり得ないはずです。

この回答へのお礼

物理カテで、回答を頂いてましたね。

お礼日時：2024/12/22 15:03

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/22 12:48

メビウスの輪は、解析学的にはファイバーバンドルで記述できました。

その後、ファイバーバンドルは拡張されて、ファイバーとして直線だけでなく
様々な位相空間を使うようになっています。ファイバーとして実2次空間を
使い、円周へ貼り付ければ、質問のようなものが作れますね。参考↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF …

この回答へのお礼

難しすぎて、、、

お礼日時：2024/12/22 14:59

No.1 回答者： fxq11011 回答日時： 2024/12/22 12:33

＞薄い紙でも貼り合わせ部分の四隅は四カ所になる、と思うのです。

薄い紙でメビウスの帯の形を実現しようとすれば・・・・の話ですね。
真に科学として思考するときは、貼り合わせなんて現実の話は持ち込みません。
三次元のメビウスの帯に相当する形は、もはや帯と表現できるものではありません。
三次元思考に、帯？、二次元思考の中での帯に厚み（高さ）はありませんわな。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/12/22 14:58