この問題で1/4円を考えのそのなかで(n,0)と(0,n)を結ぶy=-x+nの直線を考えます。 その

この問題で1/4円を考えのそのなかで(n,0)と(0,n)を結ぶy=-x+nの直線を考えます。
その直線の下側の正方形の数と上側の正方形の数ではさみうちをこころみましたがどこがいけないでしょうか。
Σ(-k+n)(k=1からn)＜N(n)＜Σ(-k+n)(k=0からn)としました。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/29 16:38

＞ nが十分大きいときこの関係なりたちませんか？

＞ 半径無限大で弦は限りなく弧になる考え方をつかいました。

成り立ちません。
孤を近似してどうする。今回の問題では、近似すべきは面積です。
n をどれだけ大きくしても、あなたの N(n) が近似するのは
(0,0), (n,0), (0,n) を頂点とする三角形の面積であって、
1/4円の面積には近づきません。だめじゃん。

No.1 に書いたように、1/4円の中にある小正方形の個数を数えて
Σ{k=1..n} [ √(n^2 - k^2) ] < N(n)/4 < Σ{k=0..n-1} [ √(n^2 - k^2) ]
とすると、[ ] のぶん少し評価をゆるめて
Σ{k=1..n} √(n^2 - k^2) < N(n)/4 < Σ{k=0..n-1} √(n^2 - k^2) + 1
となるので、変形して
4 Σ{k=1..n} (1/n)√(1 - (k/n)^2) < N(n)/n^2 < { 4 Σ{k=0..n-1} (1/n)√(1 - (k/n)^2) } + 1/n
とできます。ハサミウチと区分求積法によって、
lim{n→∞} N(n)/n^2 = 4 ∫{0,1} √(1 - x^2) dx とできますね。

よって、
lim{n→∞} N(n)/n^2 = 4 ∫{0,1} √(1 - x^2) dx = 4・π/4 = π です。
積分の計算は、 x = sinθ で置換積分でもすればよいですね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/28 20:56

n=1のとき

N(1)=0
Σ{k=1～1}(-k+1)=0=0=N(1)=0<1=Σ{k=0～1}(-k+1)
Σ{k=1～n}(-k+n)<N(n)とならないからいけない
n=2のとき
N(2)=4
Σ{k=1～2}(-k+2)=1<4=N(2)=4>3=2+1=Σ{k=0～2}(-k+2)
N(n)<Σ{k=0～n}(-k+n)とならないからいけない

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/28 18:46

あなたの考えだと、Cn に含まれる小正方形の個数でなく

y=-x+n, x=0, y=0 で囲まれる三角形に含まれる小正方形の個数を
N(n)としたことになります。

発想は同じなのですが、ちゃんと Cn を使って、
Σ{k=1..n} [ √(n^2 - k^2) ] < N(n)/4 < Σ{k=0..n-1} [ √(n^2 - k^2) ]
から区分求積法へ持ち込んだほうがよいと思います。
式中の [ ] は、ガウス記号です。

この回答へのお礼

nが十分大きいときこの関係なりたちませんか？半径無限大で弦は限りなく弧になる考え方をつかいました。

お礼日時：2025/01/28 19:38