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2024.8.31 00:04にした質問の
2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた解答について、質問があります。


以下は2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた解答です。


>> res(g(z),π/2)={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)の積分の式

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の微分の式から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の式を導いたのではありません
間違いです

a(n)=res(g(z),π/2)={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)の積分の式
から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の式を導いたのではありません
間違いです
----------------------------------------------------------------

0<r=|z-c|<R でf(z)が正則のとき
f(z)の0<|z-c|<Rでのローラン展開

f(z)=Σ[m=-∞~∞]a(m)(z-c)^m

↓両辺を(z-c)^(n+1)で割ると

f(z)/(z-c)^(n+1)=Σ[m=-∞~∞]a(m)(z-c)^(m-n-1)

f(z)/(z-c)^(n+1)=a(n)/(z-c)+Σ[m≠n]a(m)(z-c)^(m-n-1)

↓両辺を{|z-c|=r}で積分すると

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz+Σ[m≠n]a(m)∫{|z-c|=r}(z-c)^(m-n-1)dz

↓m≠nのとき∫{|z-c|=r}(z-c)^(m-n-1)dz=0 だから

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz

↓∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz=2πi だから

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=2πia(n)

↓両辺を2πiで割ると

{1/(2πi)}∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)

↓左右をいれかえると

a(n)={1/(2πi)}∫{|z-c|=r]{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz
c=π/2,,g(z)=f(z)/(z-c)^(n+1) ,f(z)=tan(z) とすると

a(n)=res(g(z),π/2)…(1)

-----------------------------------------------------
f(z)=
tan(z)=Σ[m=-1~∞]a(m)(z-π/2)^m
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ[m=-1~∞]a(m)(z-π/2)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→π/2とすると
lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)
↓左右をいれかえると

a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
↓これと(1)から


res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}




「0<r=|z-c|<R でf(z)が正則のとき
f(z)の0<|z-c|<Rでのローラン展開

f(z)=Σ[m=-∞~∞]a(m)(z-c)^m」

において、

f(z)のローラン展開とは、

f(z)が正則にならない様な分母が0になるような極となる特異点の周りの点を使って展開する近似式だと思うのですが、

なぜ、極となる特異点を持たない正則のf(z)に関してf(z)のローラン展開f(z)=Σ[m=-∞~∞]a(m)(z-c)^mを作れたのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • ありものがたり様、
    2025.2.24 11:54にありものがたり様から頂いた解答の「質問者さんからお礼」に書いた質問に解答して頂けると大変ありがたいです。

    また、mtrajcp様、
    2025.2.27 09:13にした質問の2025.3.2 09:30の「質問者からの補足」に解答して頂けると大変ありがたいです。

    お手数をお掛けして申し訳ありませんが、
    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2025/03/03 20:42
  • 2025.2.25 21:06にmtrajcp様から頂いた解答の
    「f(z)が
    {f(z)がcで正則であろうとなかろうと}
    0<|z-c|<R で正則なとき
    f(z)=Σ[n=-∞~∞]a(n)(z-c)^n
    と展開できてそれをローラン展開という」
    に関して、疑問があるのですが、

    2025.2.24 08:05にした質問の2025.2.24 10:54のmtrajcp様の解答の様に、
    m≧0の時、g(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)はz=cで m+1≧1位の極(特異点)を持つ(正則でない)時にa(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)/(z-c)^(m+1)}の式を導く事が出来ますが、...①

      補足日時:2025/03/03 21:05
  • ローラン展開の式であるf(z)=Σ[n=-∞~∞]a(n)(z-c)^nの係数を導くa(m)の式は①の様に特異点を持つ時に導かれたのに、

    なぜローラン展開はf(z)がcで正則であっても0<|z-c|<R でf(z)が特異点を持つ様な正則ではない時に展開するのではなく、

    f(z)が{f(z)がcで正則であろうとなかろうと}
    0<|z-c|<R で正則なときにしかf(z)=Σ[n=-∞~∞]a(n)(z-c)^nと展開出来ないのでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2025/03/03 21:05
  • 以下の様に改めて訂正致します。

    m≧-kで正則ではないg(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)をa(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}が含んでいる為、
    a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}は正則(微分可能)ではなく、

    m≦-k-1で正則となるg(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)をa(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}が含んでいる為、
    a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}は正則(微分可能)になるとわかりました。

      補足日時:2025/03/05 10:43
  • すなわち、
    g(z)=f(z)(z-c)^kが
    m≧-kで正則でない時
    a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}

    h(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)が
    m≦-k-1で正則の時
    a(m)=1/(2πi)∫{|z-c|=r}h(z)dz

    のどちらの場合でも

    a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}

    a(m)=1/(2πi)∫{|z-c|=r}h(z)dzは常に正則(微分可能)にならない。

    と言う事でしょうか?

    どうか間違えている部分があれば訂正してた文章を教えて頂けるとありがたいです。

      補足日時:2025/03/05 19:45
  • 2025.3.1 04:59のmtrajcp様の解答より

    >> f(z)がz=c で1位の極を持つときに限り

    g(z)=(z-c)f(z)
    m≧-1のとき
    a(m)={1/(m+1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+1){g(z)}
    m≦-2のとき
    a(m)=0

    としなければいけません



    質問12,
    なぜf(z)がz=c で1位の極を持つときに限り

    g(z)=(z-c)f(z)
    m≧-1のとき
    a(m)={1/(m+1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+1){g(z)}
    m≦-2のとき
    a(m)=0

    としなければいけないのでしょうか?

    どうか理由を教えて下さい。


    また、mtrajcp様の質問3の解答が書いてある解答の「質問者さんからお礼」の「以下の様に改めて訂正致します。」の後に書いた文章は
    f(z)がz=c で1位の極を持つときに限りでの話でしょうか?

      補足日時:2025/03/05 21:13
  • 質問18,
    画像の様にn≦-2でg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の式が正則ではない為、
    a(n)≠0となり、a(n)の式は発散する為、
    a(n)=∞となると思ったのですが、

    a(n)=(-2)^(-n-2)と導かれています。

    なぜ、a(n)=∞ではなく、
    a(n)=(-2)^(-n-2)と導かれたのでしょうか?


    質問19,
    a(n-k)={1/n!}lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式はk=1位の時以外も使える式なのでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

    「2024.8.31 00:04にした質問」の補足画像7
      補足日時:2025/03/06 14:28
  • ありがとうございます。

    質問23に関して質問があります。

    質問39,
    画像より、

    g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<rでz=1でn+2位の極、z=-1で1位の極の2つの極を持ちますが、

    n≦-1の時、
    z=1
    c=1
    k=n+2
    g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
    として、

    a(m-k)={1/m!}lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式から赤い下線部の-1/(-2)^(n+2)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか?


    どうかよろしくお願い致します。

    「2024.8.31 00:04にした質問」の補足画像8
      補足日時:2025/03/08 01:56
  • 質問23に関して質問があります。

    質問39,
    画像より、

    g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<rでz=1でn+2位の極、z=-1で1位の極の2つの極を持ちますが、

    n≦-1の時、
    z=1
    c=1
    k=n+2
    g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
    として、

    a(m-k)={1/m!}lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式から赤い下線部の-1/(-2)^(n+2)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか?


    質問40,
    a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)(z-c)^k}の式は

    a(m)=0やa(m)≠0になりますがf(z)の式によってはa(m)=∞になるのでしょうか?

    仮にa(m)=∞になる事があるならばどんなf(z)の式の時にa(m)=∞となるのですか?

    「2024.8.31 00:04にした質問」の補足画像9
      補足日時:2025/03/09 04:37

A 回答 (22件中21~22件)

違います


f(z)のローラン展開とは、
f(z)が正則にならない様な分母が0になるような極となる
特異点の周りの点を使って展開する近似式ではありません

f(z)が
{f(z)がcで正則であろうとなかろうと}
0<|z-c|<R で正則なとき
f(z)=Σ[n=-∞~∞]a(n)(z-c)^n
と展開できてそれをローラン展開という

だから

f(z)が
cで正則の場合も
0<|z-c|<R で正則なとき
|z-c|<R で正則で
f(z)=Σ[m=-∞~∞]a(m)(z-c)^m

ローラン展開できて
m≦-1 のとき a(m)=0 となるから

f(z)
=Σ[n=-∞~∞]a(m)(z-c)^m
=Σ[n=0~∞]a(m)(z-c)^m

テイラー展開でもある
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> f(z)が
cで正則の場合も
0<|z-c|<R で正則なとき
|z-c|<R で正則で
f(z)=Σ[m=-∞~∞]a(m)(z-c)^m

ローラン展開できて
m≦-1 のとき a(m)=0 となるから



こちらの文章は、
f(z)をローラン展開する際にg(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)を含む
a(m)={1/(m+1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+1){g(z)}がm≦-1で正則の時、
a(m)=0 となると言っているのと言う事でよろしいでしょうか?

お礼日時:2025/02/28 23:24

> f(z)のローラン展開とは、


> f(z)が正則にならない様な分母が0になるような極となる特異点の周りの点を使って展開する近似式だと思うのですが、
> なぜ、極となる特異点を持たない正則のf(z)に関してf(z)のローラン展開f(z)=Σ[m=-∞~∞]a(m)(z-c)^mを作れたのでしょうか?

ローラン展開とは、 f(x) を = Σ[m=-∞~∞] a(m)(z-c)^m という形の級数で表すことで、
テイラー展開とは、 f(x) を = Σ[m=0~∞] a(m)(z-c)^m という形の級数で表すこと。
テイラー展開もローラン展開の一種で、
m < 0 のとき a(m) = 0 になっている特殊な例だというだけだ。

展開中心において f(x) が正則なら、テイラー展開するのは容易でしょ?
それは、ローラン展開できたってことになる。
展開中心が特異点である必要はない。

あと、「極となる特異点の周り」と言ってしまっているが、これは酷い誤解。

ローラン展開は、展開中心が真性特異点であっても、作ることができる。
中心が極でなければならない理由はない。
k 位の極を中心とするローラン展開は Σ[m=-k~∞] a(m)(z-c)^m という形をしていて、
テイラー展開と並んで、ローラン展開の中では特殊なものである。
    • good
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> ローラン展開とは、 f(x) を = Σ[m=-∞~∞] a(m)(z-c)^m という形の級数で表すことで、
テイラー展開とは、 f(x) を = Σ[m=0~∞] a(m)(z-c)^m という形の級数で表すこと。
テイラー展開もローラン展開の一種で、
m < 0 のとき a(m) = 0 になっている特殊な例だというだけだ。



そうですね。
m<0の時はf(x)を=Σ[m=0~∞]a(m)(z-c)^mと言う形で表すにしても

f(x)=Σ[m=0~∞]a(m)(z-c)^mとなり、
f(x)=Σ[m=0~∞]a(m)(z-c)^mはm<0の時、正則となる為、
f(z)の式を含むg(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)の式を含むa(m)={1/(m+1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+1){g(z)}は正則となりますね。


ただ、m<0の時にf(z)を=Σ[m=0~∞]a(m)(z-c)^mと表すならば、

f(z)=Σ[m=0~∞]a(m)(z-c)^mではなく、

f(z)=Σ[m=1~∞]a(m)(z-c)^mではないでしょうか?


>> 展開中心において f(x) が正則なら、テイラー展開するのは容易でしょ?
それは、ローラン展開できたってことになる。



えと、f(z)が極となる特異点ではない点でならf(z)は正則である為、
テイラー展開は出来ますが、なぜテイラー展開出来た事がローラン展開出来た事になるのでしょうか?


>> あと、「極となる特異点の周り」と言ってしまっているが、これは酷い誤解。



申し訳ないのですが、
質問に書いた

「f(z)のローラン展開とは、

...特異点の周りの点を使って展開する近似式だと思うのですが、」

を正しい文章に訂正して正しい文章を教えて頂けないでしょうか?


>> ローラン展開は、展開中心が真性特異点であっても、作ることができる。



真性特異点と孤立特異点であれ、
その点はf(z)がk位の極を持つ特異点であり、
その特異点を中心にローラン展開する為、
真性特異点と孤立特異点でローラン展開する際の式はΣ[m=-k~∞] a(m)(z-c)^m という形なのでしょうか?


お手数をお掛けして申し訳ありませんが、
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2025/03/03 12:09

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