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2024.8.31 00:04にした質問の 2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた

締切済

質問者：akitv
質問日時：2025/02/24 08:07
回答数：22件

2024.8.31 00:04にした質問の
2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた解答について、質問があります。

以下は2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた解答です。

>> res(g(z),π/2)={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)の積分の式
と
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の微分の式から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の式を導いたのではありません
間違いです

a(n)=res(g(z),π/2)={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)の積分の式
から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)})の式を導いたのではありません
間違いです
----------------------------------------------------------------

0<r=|z-c|<R でf(z)が正則のとき
f(z)の0<|z-c|<Rでのローラン展開

f(z)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^m

↓両辺を(z-c)^(n+1)で割ると

f(z)/(z-c)^(n+1)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^(m-n-1)

f(z)/(z-c)^(n+1)=a(n)/(z-c)+Σ[m≠n]a(m)(z-c)^(m-n-1)

↓両辺を{|z-c|=r}で積分すると

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz+Σ[m≠n]a(m)∫{|z-c|=r}(z-c)^(m-n-1)dz

↓m≠nのとき∫{|z-c|=r}(z-c)^(m-n-1)dz=0 だから

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz

↓∫{|z-c|=r}{1/(z-c)}dz=2πi だから

∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=2πia(n)

↓両辺を2πiで割ると

{1/(2πi)}∫{|z-c|=r}f(z)/(z-c)^(n+1)dz=a(n)

↓左右をいれかえると

a(n)={1/(2πi)}∫{|z-c|=r]{f(z)/(z-c)^(n+1)}dz
c=π/2,,g(z)=f(z)/(z-c)^(n+1) ,f(z)=tan(z) とすると

a(n)=res(g(z),π/2)…(1)

-----------------------------------------------------
f(z)=
tan(z)=Σ[m=-1～∞]a(m)(z-π/2)^m
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ[m=-1～∞]a(m)(z-π/2)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→π/2とすると
lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)
↓左右をいれかえると
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
↓これと(1)から

res(g(z),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

の
「0<r=|z-c|<R でf(z)が正則のとき
f(z)の0<|z-c|<Rでのローラン展開

f(z)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^m」

において、

f(z)のローラン展開とは、

f(z)が正則にならない様な分母が0になるような極となる特異点の周りの点を使って展開する近似式だと思うのですが、

なぜ、極となる特異点を持たない正則のf(z)に関してf(z)のローラン展開f(z)=Σ[m=-∞～∞]a(m)(z-c)^mを作れたのでしょうか？

ありものがたり様、
2025.2.24 11:54にありものがたり様から頂いた解答の「質問者さんからお礼」に書いた質問に解答して頂けると大変ありがたいです。

また、mtrajcp様、
2025.2.27 09:13にした質問の2025.3.2 09:30の「質問者からの補足」に解答して頂けると大変ありがたいです。

お手数をお掛けして申し訳ありませんが、
どうかよろしくお願い致します。

補足日時：2025/03/03 20:42
通報する
2025.2.25 21:06にmtrajcp様から頂いた解答の
「f(z)が
{f(z)がcで正則であろうとなかろうと}
0<|z-c|<R で正則なとき
f(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^n
と展開できてそれをローラン展開という」
に関して、疑問があるのですが、

2025.2.24 08:05にした質問の2025.2.24 10:54のmtrajcp様の解答の様に、
m≧0の時、g(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)はz=cで　m+1≧1位の極(特異点)を持つ(正則でない)時にa(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)/(z-c)^(m+1)}の式を導く事が出来ますが、...①

補足日時：2025/03/03 21:05
通報する
ローラン展開の式であるf(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^nの係数を導くa(m)の式は①の様に特異点を持つ時に導かれたのに、

なぜローラン展開はf(z)がcで正則であっても0<|z-c|<R でf(z)が特異点を持つ様な正則ではない時に展開するのではなく、

f(z)が{f(z)がcで正則であろうとなかろうと}
0<|z-c|<R で正則なときにしかf(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^nと展開出来ないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

補足日時：2025/03/03 21:05
通報する
以下の様に改めて訂正致します。

m≧-kで正則ではないg(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)をa(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}が含んでいる為、
a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}は正則（微分可能）ではなく、

m≦-k-1で正則となるg(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)をa(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}が含んでいる為、
a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}は正則（微分可能）になるとわかりました。

補足日時：2025/03/05 10:43
通報する
すなわち、
g(z)=f(z)(z-c)^kが
m≧-kで正則でない時
a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}
や
h(z)=f(z)/(z-c)^(m+1)が
m≦-k-1で正則の時
a(m)=1/(2πi)∫{|z-c|=r}h(z)dz

のどちらの場合でも

a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){g(z)}
や
a(m)=1/(2πi)∫{|z-c|=r}h(z)dzは常に正則（微分可能）にならない。

と言う事でしょうか？

どうか間違えている部分があれば訂正してた文章を教えて頂けるとありがたいです。

補足日時：2025/03/05 19:45
通報する
2025.3.1 04:59のmtrajcp様の解答より

>> f(z)がz=c で1位の極を持つときに限り

g(z)=(z-c)f(z)
m≧-1のとき
a(m)={1/(m+1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+1){g(z)}
m≦-2のとき
a(m)=0

としなければいけません

質問12,
なぜf(z)がz=c で1位の極を持つときに限り

g(z)=(z-c)f(z)
m≧-1のとき
a(m)={1/(m+1)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+1){g(z)}
m≦-2のとき
a(m)=0

としなければいけないのでしょうか？

どうか理由を教えて下さい。

また、mtrajcp様の質問3の解答が書いてある解答の「質問者さんからお礼」の「以下の様に改めて訂正致します。」の後に書いた文章は
f(z)がz=c で1位の極を持つときに限りでの話でしょうか？

補足日時：2025/03/05 21:13
通報する
質問18,
画像の様にn≦-2でg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の式が正則ではない為、
a(n)≠0となり、a(n)の式は発散する為、
a(n)=∞となると思ったのですが、

a(n)=(-2)^(-n-2)と導かれています。

なぜ、a(n)=∞ではなく、
a(n)=(-2)^(-n-2)と導かれたのでしょうか？

質問19,
a(n-k)={1/n!}lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式はk=1位の時以外も使える式なのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

補足日時：2025/03/06 14:28
通報する
ありがとうございます。

質問23に関して質問があります。

質問39,
画像より、

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<rでz=1でn+2位の極、z=-1で1位の極の2つの極を持ちますが、

n≦-1の時、
z=1
c=1
k=n+2
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
として、

a(m-k)={1/m!}lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式から赤い下線部の-1/(-2)^(n+2)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

補足日時：2025/03/08 01:56
通報する
質問23に関して質問があります。

質問39,
画像より、

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<rでz=1でn+2位の極、z=-1で1位の極の2つの極を持ちますが、

n≦-1の時、
z=1
c=1
k=n+2
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
として、

a(m-k)={1/m!}lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の式から赤い下線部の-1/(-2)^(n+2)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

質問40,
a(m)={1/(m+k)!}lim_{z→c}(d/dz)^(m+k){f(z)(z-c)^k}の式は

a(m)=0やa(m)≠0になりますがf(z)の式によってはa(m)=∞になるのでしょうか？

仮にa(m)=∞になる事があるならばどんなf(z)の式の時にa(m)=∞となるのですか？

補足日時：2025/03/09 04:37
通報する

2024.8.31 00:04にした質問の 2024.9.3 16:48にmtrajcp様から頂いた

質問7

質問3

補足2025/03/05 10:43

f(z)が0<|z-c|<Rで正則のとき

違います

f(z)が正則のときk=0とする

違います

違います

違います

だから既に No.1 でそう言ってるじゃん。

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