難解．．．リッカチ（Riccati）の微分方程式の解法で

リッカチの微分方程式が解けません．優秀な方挑戦してください．
もう1週間悩んでいます．解いてみた結果も付記しました．

☆問題：リッカチ型

dλ(t)/dt+(λ(t)＾2)/2a -ｒλ(t)-１＝0
です．
λがｔの関数，aとｒは，定数です．

特殊解が一つでもあれば解けるのがリッカチ型ですが，その特殊解は，λ(T)＝0とそばに付記されてました．（0の特殊解でいいのか？？）

回答は，
λ（ｔ）＝　2[1-exp{C(t-T)}] / [(r-C)exp{C(t-T)}-(r+C)]，ただし，C＝√(r^2+2/a)
積分は，下限ｔから上限Tまでの文脈です．（問題と回答終わり．）

◆まず，リッカチ型をベルヌイへ変換しなくてはなりません．しかし，特殊解は，問題のλ（T）＝0を使っていいのでしょうか？なぜなら，λ≡λ（T）+uとして，u変数のベルヌイを作らねばなりませんが，特殊解が0なので，λ＝uとなります．

気にせず進むと，結局，与式から-1が消えたりし，
du(t)/dt + u(t)^2/2a -ru(t)の，n=2のベルヌイ型となりました．

あとはベルヌイです．まず求積法で解けるように変換します．

すると，n=2のベルヌイなので，Z≡u^(-1)= 1/uです．結局，dZ/dt + rZ = 1/2a　の式になって積分因子であるexp｛ｒｔ}をかけて，下限ｔから上限Tまで積分すると，
Z（ｔ）＝exp{r(T-t)}Z(T) - exp{r(T-t)}/2a
となりました，ここまでの変数変換より，
λ（ｔ）≡　λ（T）+ u（ｔ）.
Z（ｔ）　≡1/u(t)，　　ただし，λ（T）＝0なので，λ（ｔ）＝1/Z（ｔ）

自分が解くと，結局，
λ（ｔ）＝1/Z（ｔ）=1/[exp{r(T-t)}Z(T) - exp{r(T-t)}/2a]

．．．はぁ～．．(-_-;)どなたか，宜しくお願いします．

No.1 ベストアンサー 回答者： 31415926 回答日時： 2005/05/25 01:40

> λ(T)＝0とそばに付記されてました．

>（0の特殊解でいいのか？？）

と書かれていますが，λ(T)=0というのは特殊解
ではなく，初期条件だと思います．最初の微分方程式
dλ(t)/dt+(λ(t)＾2)/2a -ｒλ(t)-１＝0
の特殊解はx^2/2a - rx -1=0の解の一つから
決まる定数関数，つまり例えばλ(t)=a(r+C)
(Cは質問文中の通り)という定数関数がそうです．
(定数関数だとdλ(t)/dt＝０だから確かに上の方程式
の解になっています．)

これで特殊解がわかったのであとは

>気にせず進むと，結局，与式から-1が消えたりし，
>du(t)/dt + u(t)^2/2a -ru(t)の，n=2のベルヌイ型と>なりました．

の部分を直して，同様の方法でやれば多分できる
はずです．

あと，最後の所，
dZ/dt = AZ+B (A,Bは定数)　
の形の微分方程式の解き方がちょっとおかしなように
思います．(右辺にZが入っている．)
これはY=Z+(B/A)と置けば
dY/dt = AY
なのでY=Dexp(At) (Dは定数)のようにして解けます．

それでは計算，頑張って下さい．

この回答への補足

おかげさまで解くことができました．結局，ベルヌイの方程式が，ｄZ/ｄｔーCZ＝1/2αとなり，(ただし，31415926さんがλの特解を見つけてくれたa(r+C)のｃです．）この一般解がA*exp{ct}-1/2αｃです．よって，ここで終端条件のλ（T）＝0によって，これまでの変数変換より，λをｚの式にして，すなわち，λ＝特解(a(r+C))+1/ｚより，λ（T）＝(a(r+C))+1/｛A*exp{cT}-1/2αｃ｝=0より，A＝exp{-cT}*{-1/α(r+c)+1/2αc}を求めておきます．そして，これをもとのλ(ｔ)＝λ（t）＝(a(r+C))+1/[exp{-ct}*{-1/α(r+c)+1/2αc}*exp{cT}-1/2αｃ]にC=√(r^2+2/α）を代入すれば，大変でしたが，答えにたどり着きました．ありがとうございました．

補足日時：2005/05/28 22:20

この回答へのお礼

回答をお待ちしておりました．
優秀な方に見ていただいてうれしく思います．
それは初期条件だったのですね．たしかに1＝0となっていました．
今日の夜に再計算させていただきます．
この場合の特殊解の求め方は，dλ(t)/dt
を取り除いてから，(λ(t)＾2)/2a -ｒλ(t)-１＝0
を求めるのですね．納得しました．
あと，計算過程のおかしなところも指摘していただいてありがとうございます．あとでじっくり拝見させていただきます．早々にお礼させていただきました．結果もご報告します．

お礼日時：2005/05/25 14:22