積分について

∮｛(1-x^2)/x^4｝dxという不定積分を解くとき、解答で、抜粋になりますがこの分数を1/x^4-1/x^2と分解していました。
私も解くときにどうにか分解したいと思ったのですが解答のやり方は思いつきませんでした。
みなさんも解答と同じ分解をなさりますか？同じでも違う場合でもどうやってその分解を考えているのか教えてほしいです。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/10 12:50

分数式の積分は、特別に解きやすい形は別にして

普通は部分分数展開で解きます。
分母が楽に因数分解できる場合は簡単に積分できます。

つまりあなたが定跡を知らなかっただけなのです。

蛇足ですが
単なる積分に、周回積分の記号を使うのはやめましょぅ。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/09 16:36

#4訂正です

(x-c)^n

の積分は

n≠-1のとき　∫{(x-c)^n}dx=(x-c)^{n+1}/(n+1)+C
n=-1のとき　∫{1/(x-c)}dx=log|x-c|+C

だから
各項が

(係数)(x-c)^n

の形になるように分解すればよい

(1-x^2)/x^4
を
1/x^4-1/x^2
=(x-0)^{-4}-(x-0)^{-2}
と
分解すれば

∫{(x-0)^{-4}-(x-0)^{-2}}dx
=(x-0)^(-3)/(-3)-(x-0)^{-1}/(-1)+C
=-1/(3x^3)+1/x+C

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/09 16:32

(x-c)^n

の積分は

n≠-1のとき　∫{(x-c)^n}dx=(x-c)^{n+1}/(n+1)+C
n=-1のとき　∫{1/(x-c)}dx=log|x-c|+C

だから
各項が

(係数)(x-c)^n

の形になるように分解すればよい

(1-x^2)/x^4
を
1/x^4-1/x^2
=(x-0)^{-4}-(x-0)^{-2}
と
分解すれば

∫{(x-0)^{-4}-(x-0)^{-2}}dx
=(x-0)^(-3)/(-3)-(x-0)^{-1}/(-1)+C
=-1/x^3+1/x+C

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/04/06 02:51

私も、一目、模範解答のやり方が思い浮かびました

多分頭の中で
1−x²があるから、x＝cosθと置換してみようか(そうすると、分子は(1−cos²x)dxからsin²xdxになるな
でも、その後の進め方はどうしょうか…)
それとも、分子＝1/x⁴−x²/x⁴と分けて約分してみる(模範解答と同じ解法)の方が良いかな…これなら簡単に変形して上手いこと先へ進め事が出来そう…
などなどと、無意識のうちに考えているのかもそれません…

しかし、このように思いつくことは基本自分の頭でゼロから生み出したものではなくて、
これまで生きて来て過去に一度は目にした事があるものが、今、アウトプットされたと言うケースが非常に多いです！
ですから、思いつけなかった解法に出会ったら、しっかりインプットしておいて、必要な時にアウトプット出来るようにしておけば良いのです

そのようにして、記憶の引き出しの中身を出来るだけ増やす事が大切です
つまりは、出来るだけ多くの問題にあたって、解法のパターンをインプットする事です(もっと言えば、数学に限らず色々な経験を積む事です)
そうして、インプットした事がらは、寝ている時や、何も考えていない時(瞑想のように高度な集中力を発揮しているとき、あるいは散歩してるとき、入浴してる時などなど)に脳の中で処理されて、記憶が整理され定着すると言われています
記憶の引き出しを増やせたら、それらを(上手く)組み合わせて引き出す能力も必要です
そのためには、見た事がない問題を解いて見て、分からなかったら解答をすぐ見て、記憶の引き出しの中にある、これとこれとこれを組み合わせれば、この問題は解く事が出来たのかと思い、記憶の組み合わせ方を学ぶのも良いでしょうし、
時間に余裕があるなら、自力で解けるまで考えてみるのも良いかと思います
自力で考えて解けない→食事や入浴や寝る時間が来て問題から離れる→離れている間に未解決の事をなんとか解決しようと脳が無意識に働く→再度同じ問題を考えてみる→まだ解けない→再度問題から離れる→脳が無意識に処理する→…
と言う事をしているといつかは、(思いがけないときに)解法(解決方)が思いつく(引き出し内にある必要な記憶と記憶が上手い事結びついてアウトプットされる)、と言うことは良くある事です(こう言う脳の働きがある事は脳科学か何かで立証された、もしくはされつつあるようで、一例としてベンゼン環の構造について発見した化学者は、それまで不明であったベンゼン環の構造の事を四六時中考えて考えて考え抜き、先程示した要領で無意識のうちの脳内処理が進み、ついに寝ている時に夢に六匹のへビが輪になって出てきて、この夢からベンゼン環は六角形の形をしている！と気がついたそうです
そして、このようなひらめきの例は(大発見から小さな発見まで)枚挙にいとまがありません)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/05 23:19

分数式を積分するのに、部分分数分解を使うのは自然なこと。

今回の被積分関数は、極を x=0 にしか持たないから
(x の３次以下の多項式)/x^4 という形に分解できて...
つか、最初からその形になってるし。
あとは、分子の項ごとに分数を分解すれば部分分数分解が完成する。
それが、(1 - x^2)/x^4 = 1/x^4 - x^2/x^4 = 1/x^4 - 1/x^2.
∫x^a dx の積分は、知ってるんだよね？

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/05 23:09

この分解は単純。

色んなものがあるとは思えない。

他の方法があったら、それは変態。

>みなさんも解答と同じ分解をなさりますか？<
●意味不明????