Ｘの７乗+Ｙの７乗の因数分解を教えてください

Ｘの７乗+Ｙの７乗の因数分解を教えてください

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/10/13 14:10

n が「奇数」のとき，

xⁿ+yⁿ=(x+y)(xⁿ⁻¹ - xⁿ⁻²y + xⁿ⁻³y² - xⁿ⁻⁴y³ ・・+ yⁿ⁻¹ )
(各項が+ - + - ・・・・と交互に現れる）

n=7を代入すれば出来る
x⁷+y⁷==(x+y)(x⁶ - x⁵y + x⁴y² - x³y³ + x²y⁴ - xy⁵ + y⁶)

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/13 16:26

x^7 + y^7 = 0

という方程式を考えたときに、

x ≠ 0 ならば
x^7 [ 1 + (y/x)^7 ] = 0
なので
　(y/x)^7 = -1
つまり
　x = -y
はこれを満たすな、と気がつけば、
　x^7 + y^7 = (x + y)*g(x,y)
と書けるはずです。

　g(x,y) = (x^7 + y^7) ÷ (x + y)
を計算してみると（多項式の割り算を筆算でできますね？）
　x^7 + y^7 = (x + y)(x^6 - x^5 y + x^4 y^2 - x^3 y^3 + x^2 y^4 - xy^5 + y^6)
となります。

　この右辺第2項は、これ以上は分解できないかな？

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/10/13 17:09

係数としてどの範囲まで許すかによって「どこまで分解できるか」は変わりますよね＞#2.

有理数の範囲ならそれで終わり. 実数を許すならさらに 3つに分解できるし, 複素数を使えば当然 1次式の積の形に分解できる.