続投すみません サ終まで少しでも知識がつくように質問しまさ 6番についてです 解説書では正6角形の面

続投すみません
サ終まで少しでも知識がつくように質問しまさ

6番についてです

解説書では正6角形の面積を丸６とすると
正6角形の中心を点Ｏとする。
FEとAOは平行なので三角形FAQと三角形FOQの面積は等しく　丸3/5とありました

QRとABが平行となる点Rをとると、BR:BE=5+3:5*2=4:5
三角形ABE＝丸2より
三角形PBE＝丸2÷2＝丸1
三角形PBR＝4/5
QRとABは平行なので
三角形PBQ＝三角形PBR＝4/5
AP=PBより
三角形APQ＝三角形PBQ=4/5
とありました

なぜ丸3/5になるのとそれ以降の説明が理解出来ませんでした。

No.10 ベストアンサー 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2025/04/21 08:10

お礼を拝見しました。

△OAF:斜線部の面積＝5:7
で、六角形の面積は△OAFの面積の６倍ですから、
六角形の面積:△OAF:斜線部の面積
＝5×6:5:7
＝30:5:7
よって、
六角形の面積:△OAFの面積＝30:7

ではいかがでしょうか。

No.9 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2025/04/21 06:39

お礼を拝見しました。

もとの六角形は正六角形ですから、一つの内角は120°です。よって△OABは内角がそれぞれ60°になりますから、正三角形です。

また、正六角形を対角線で６等分してできる正三角形と、△OABは合同です。

これでいかがでしょうか。

この回答へのお礼

△OAF×６＝30の30はどこから出てくるんだろうと思ってずっと探してました。

これはどこから出てくるのですか？

お礼日時：2025/04/21 06:43

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/20 23:13

←No.5 補足

＞ 三角形FAQはなぜ3/5になるのですか

それは No.3 に書きましたよ。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/20 22:32

＞ BE：BO = 2：1

＞ なぜ２：１になるのですか

そこ？
BE = BO + OE,
BO = OE
だからですよ。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/20 06:55

あ、リンク先が違った。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14085945.html
のときと同じやり方で

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/20 06:44

質問文から No.4 への流れは、

ゴチャゴチャして見通しが悪いですね。
こんな解法はどうですか？

直線AB と 直線EF の交点を 点Z としましょう。
△ZAF は △ABO と合同で、△ZBE = 丸4 になります。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14085933.html
のときと同じやり方で
△ZPQ = △ZBE×(ZP/ZB)×(ZQ/ZE) が示せますから、
ZP：ZB = (ZA+AP)：(ZA+AB) = (2+1)：(2+2),
ZQ：ZE = (ZF+FQ)：(ZF+FB) = (5+3)：(5+5)
より
△ZPQ = (丸4)×(3/4)×(8/10) = 丸12/5
です。

（斜線部） = △ZPQ − △ZAF
　　　　　= (丸12/5) - (丸1)
　　　　　= 丸7/5,
(斜線部)/(六角形ABCDEF) = (丸7/5)/(丸6) = 7/30
と計算できます。

この回答へのお礼

三角形FAQはなぜ３／５になるのですか

お礼日時：2025/04/20 23:04

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/20 06:40

それ以降の説明の、どこが解りにくかったのかな？

「理解できませんでした」だけでは判らないけれど。

AB // FO // QR なので、△FOE ∽ △QRE になって、
OE：RE = FE：QE = (3+2)：2 です。
BR：BE = (BO+OE-RE):(BO+OE) = (5+5-2)：(5+5) = 4：5 になります。

△ABE と △ABO は、高さが共通で底辺が BE：BO = 2：1 なので、
△ABE = △ABO×(BE/BO) = (六角形ABCDEF)×(1/6)×(2/1) = 丸2.

△PBE と △ABE は、高さが共通で底辺が PB：AB = 1：2 なので、
△PBE = △ABE×(PB/AB) = (丸2)×(1/2) = 丸1.

△PBR と △PBE は、高さが共通で底辺が BR：BE = 4：5 (上述)なので、
△PBR = △PBE×(BR/BE) = (丸１)×(4/5) = 丸4/5.

QR // AB から、△PBQ と △PBR の辺PB を底辺と見ると
高さが共通なので、△PBQ = △PBR.

△PAQ と △PBR の辺PB とPA を底辺と見ると
高さが共通なので、△PAQ = △PBR.

以上より、△PAQ = 丸4/5.

ひとつひとつの操作は、高さ共通の三角形の面積比を
底辺の比から求めているだけです。


質問文での引用はここまでですが、まだ終わっていませんね。
(斜線部) = △FAQ + △PAQ
　　　　= (丸3/5) + (丸4/5)
　　　　= 丸7/5,
(斜線部)/(六角形ABCDEF) = (丸7/5)/(丸6) = 7/30
が答えです。

この回答へのお礼

△ABE と △ABO は、高さが共通で底辺が BE：BO = 2：1
なぜ２：１になるのですか

お礼日時：2025/04/20 22:18

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/20 05:42

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14085933.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14085945.html
に引き続き、高さを共有する三角形の面積に関する質問ですね。
これを機会に、三角形の見方に慣れてしまうとよいと思います。

△FAQ と△FOQ の辺FQ を底辺と見ると、
２つの三角形の高さは、どちらも平行四辺形AOQF の高さと同じ
になって、等しいことがわかります。
よって、△FAQ = △FOQ です。

一方、△FOQ は △FOE と高さが等しく、
底辺は FQ：FE = 3：(3+2) なので、
△FOQ = △FOE×(FQ/FE) = △FOE×(3/5) です。

△FOE は、六角形ABCDEF を 6等分したものですね。

以上から、
△FAQ = △FOQ = △FOE×(3/5)
　　　= (六角形ABCDED)×(1/6)×(3/5)
　　　= (丸6)×(1/6)×(3/5)　　
　　　= 丸3/5
　　　になります。

この回答へのお礼

すみません　先ほど質問した回答が既にあったようです
こちらを読みます

お礼日時：2025/04/20 23:06

No.2 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2025/04/20 02:08

これは先ほどの問題に比べると、少し難しい＝基本的な図形が見つかりにくい（見つけてもうまく使えない）タイプの問題です。

そんな時は補助線を加えて、基本的な図形を作ってしまいましょう。

いろいろな解き方があるかと思いますが、、、
まず、図の中の余分な線や点（直線AQやQR、直線AOやFO、点OやRなど）を消してしまってください。
次に点BとEを直線で結び、さらに、直線BAをAの方向に延長し、直線EFをFの方向に延長し、ぶつかったところを点Oとしてみます。

すると、図中の斜線部の面積は△OPQから△OAFの面積を引いたもの ―ア
であることがわかります。

ここで△OAF、△OPQ、△OBEに注目してみてください。それぞれの三角形は頂点O、と、辺OA、OP、OB、と、辺OF、OQ、OEが重なっています。
よって、、、
△OAF：△OPQ：△OBEの面積比は、OA×OF：OP×OQ：OB×OFと等しい ―イ
ことがわかります。

あとは、OAFやOF等の長さを、上手く比で表すことができればなんとかなりそうです。

AP:PB=1:1、FQ:QE＝3:2、また、AB=EFですので、できるだけ分数を使わないで、上手く長さを決めてしまいましょう。AB（EF）の長さを10(1+1と3+2の公倍数)とすると、それぞれの長さを上手く表すことができそうです。
よって、AB=EF=⑩、AP=PB=⑤、FQ=⑥、QE=④としておきます。
（それぞれ同じ比を使っていますので、丸や四角をつける必要はありません。ただ、つけておいた方が、仮に決めた数、らしく見えるので、ここではつけておくことにします。）

さて、それではOAやOF等の長さを決めてしまいましょう。
OA=AB=⑩
OF=FE=⑩
OP=OA＋AP=⑩＋⑤＝⑮
OQ=OF＋FQ=⑩＋⑥＝⑯
OB＝OA＋AB=⑩＋⑩＝⑳
OE＝OF＋FE＝⑩＋⑩＝⑳
これらをイに当てはめると、△OAF、△OPQ、△OBEの面積比を求めることができます。さらにアをあわせて考えると、△OAFと斜線部の面積比を求めることができます。六角形の面積は△OAFの面積の６倍ですから、そこから斜線部の面積と六角形の面積の比も出せるはずです。

△OAF：△OPQ：△OBEの面積比＝OA×OF：OP×OQ：OB×OF
＝⑩×⑩：⑮×⑯：⑳×⑳＝100:240:400＝5:12:20
斜線部の面積＝△OPQ－△OAF＝12－５＝７
よって△OAF：斜線部の面積比＝５:７
六角形の面積＝△OAF×６＝30

よって六角形の面積：斜線部の面積＝30:７
よって、
斜線部の面積は六角形全体の面積の7/30倍
ではいかがでしょうか。

この回答へのお礼

なぜ六角形の面積＝△OAF×６＝30になるのですか
なぜOA=AB=⑩になるのですか

お礼日時：2025/04/20 22:07

No.1 回答者： かわごえ 回答日時： 2025/04/20 02:03

３：２のとこにQを置いてるから分母が５になるのでは

しかし
＞三角形FAQと三角形FOQの面積は等しく
ここはよく説明ができません。