limn→∞、10∧n＝０？

ある数学の頓智のような疑問です。10∧nで、nを∞に飛ばすと、その値は０になるというもの。
どういうことかというと、１の位からこの数字を表記すると、…000000000000となり、先頭は無限遠の彼方にあることになるから、いつまで経っても０以外の数字は表れない。だから、これは０だという主張です。先頭から始めて表記するとしたら、1000…000とでもなって、間の…で無限を表すことになる、というところでしょうが、このやり方を許すなら、例えば1/3=0.333…333と表わして一番最後の、末端を333としてもよいはずだ、ということになり、それは不自然だというのです。どんなものですかね？

質問者からの補足コメント

• 1/3=0.333…に関して、これを0.333…333と表記することの不自然さというか不適当さについて。
  1/3=0.333…333から両辺に３を掛けると、1=0.999…999となってしまいますが、すると、両辺から１を引いた時どうなるか？左辺＝0ですが、右辺=0.000…000 としてもよいのだろうか？という疑問が湧き起こるわけです。(それとも右辺＝0.000…001?or0.000…010…000？)

    補足日時：2025/05/07 22:33

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/08 09:07

ちな、

lim[n→∞] 10^n を …000 と表記することが不自然か否かについては
No.8 の言うとおり。

小学校では言葉を間違えて教えてるけど、
10進数 と 10進表記 は別のものだからね。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/08 08:56

←補足

＞ 1/3=0.333…に関して、これを0.333…333と表記することの不自然さ

おやおや、話題が変わってしまっているね。
0.333…333 (3がn個) は Σ[k=1..n] 3/10^k,
0.333… は lim[n→∞] Σ[k=1..n] 3/10^k で、
その２つは別のものです。
1/3 を 0.333…333 と表記したら不適切なのはあたりまえですよ。

lim[n→∞] 10^n = ∞ なのであって 10^n = ∞ ではないのと同じです。

No.9 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2025/05/08 08:38

>補足について

「1=0.99999....」は直感的には違うように思いますが、数学的には正しいです。

0.99999...は、0.9+0.09+0.009+....と表現できます。
これは初項a1=0.9、公比r=0.1の無限等比数列です。

その和Sは、S=a/1-rです。
即ち、0.9/1-0.1=0.9/0.9=1
ゆえに0.99999=1です。

別の方法で、代数的な証明だと、
x=0.999999....とおく、
両辺に10をかけて、
10x=9.9999999....
両辺からxを引いて、
10x-x=9.999999...-0.99999...
9x=9
x=1

No.8 回答者： eatern27 回答日時： 2025/05/07 21:23

一般的な実数体を想定していれば、

lim 10^n
は収束しませんが、
一般的な位相構造とは異なるものを採用しても良いのであれば、
lim 10^n ‎ = 0
という状況を作る事自体はできます。

詳しく知る必要があるのであれば例えば「p進数」についてお調べ下さい。

このような考え方をする場合には、

>先頭から始めて表記するとしたら、
については、一般的な意味でlim 1/10^nを0.000…0001と「最後の桁」があるかのような表記をしないのと同様に、
lim 10^nを1000…000と「先頭の桁」があるかのような表記はしない、という話にしかならないかと。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/07 10:54

先頭から見てゆけば、最初でゼロでないことはわかる(^^;

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/07 10:35

無限桁の自然数は存在しないのです

自然数nはどこまでも大きくはなるけれども
自然数nは有限桁なのです
10^nも有限桁なのです
決して無限桁になることはないのです

どんな大きな数K>0に対しても
N>K
となる自然数Nが存在して
n>N
となるどんな自然数nに対しても
10^n>n>N>K
となる
という状態を

lim[n→∞]10^n=∞

と定義したのです

決して10^nが無限桁になることはないのです

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2025/05/06 21:28

＞いつまで経っても０以外の数字は表れない

でも この数列は 1 から始まっていますよね。
頓智の問題でも 「これは０だという主張」には なりませんね。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/06 21:18

いや、n を ∞ に飛ばすと

10^n が ∞ へ飛ぶんだけど。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/06 18:40

どんな大きな数K>0に対しても

N>K
となる自然数Nが存在して
n>N
となるどんな自然数nに対しても
10^n>n>N>K
だから
極限の定義から

lim[n→∞]10^n=∞

となるのです
決してnを∞に飛ばすのではありません

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/06 18:12

差の大きさの問題かな。

1/3 と 0.333…333(3 が n 個)の差は 1/(3・10^n) で
n が大きくなるほど、差は小さくなります。
10^n と 000…000(0 が n 個)の差は 10^n で
n が大きくなるほど差は大きくなり、0 には近づきません。
n を大きくするにつれて、n 個並べた先の数字を無視することが
小さな誤差として無視できるようになるか
却って大きくなって無視できないか
の違いがあるのです。