【問題】 f(x) = x^2 - 4a x + a + 1/4 とする。 0 < x < 1 にお

【問題】

f(x) = x^2 - 4a x + a + 1/4 とする。
0 < x < 1 において常に f(x) > 0 が成り立つような
定数 a の値の範囲を求めよ。

【解答】

f(x) > 0 ⇔ x^2 + 1/4 > 4a(x - 1/4)

であるから、0 < x < 1 において、
y = x^2 + 1/4 ……(1) が
y = 4a(x - 1/4) ……(2) より上にある条件を考えればよい。

直線(2)は傾き 4a で、定点 (1/4, 0) を通る直線である。

(i) (2)が 0 < x < 1 において(1)と接するとき：
x^2 - 4a x + a + 1/4 = 0

が 0 < x < 1 の範囲に重解をもつので、重解が 2a であることに注意して、

16a^2 - 4a - 1 = 0, 0 < 2a < 1 ⇔ a = (1 + √5)/8

(ii) (2)が点 (0, 1/4) を通るとき：
(2) に (0, 1/4) を代入して、a = -1/4

(iii) (2)が (1, 5/4) を通るとき：
(2) に (1, 5/4) を代入して、a = 5/12 (> (1 + √5)/8)

以上 (i)〜(iii) より、求める範囲は：

-1/4 ≦ a < (1 + √5)/8 ……（答）

すみません、この問題なのですがなぜ0は範囲に含まれていないのにa=-1/4を含むのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• (0, 1/4) を代入して、a = -1/4
  a=-1/4は0ぴったりの時の傾きなのになぜ等号を含めるのかわからないです

    補足日時：2025/05/12 17:27

• xが0ぴったり)

    補足日時：2025/05/12 17:27

No.3 ベストアンサー 回答者： AっKI 回答日時： 2025/05/12 17:59

a=-1/4は0ぴったりの時の傾き

ではありますが、接点のx座標は０であり
0<x<1の範囲外です。
ｘ＝０でいくらf(x)=0になろうが、
ここでの条件は0<x<1でf(X)>0
なのでこれを満たしているa=-1/4は答えに含まれる
というだけの話です。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/12 19:18

問題は

0 < x < 1 において常に f(x) > 0 が成り立つような
定数 a の値の範囲を求めよ。
と
いっているのだから

a=-1/4 のとき

f(x)
=x^2-4ax+a+1/4
=x^2+x
=x(x+1)

0<x<1 において
f(x)=x(x+1) > 0 が成り立つから

0 < x < 1 において常に f(x) > 0 が成り立つような
定数 a の値の範囲
に
a=-1/4
は
含まれる

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/12 18:34

問題は

0 < x < 1 において常に f(x) > 0 が成り立つような
定数 a の値の範囲を求めよ。
と
いっているのだから

a=-1/4 のとき

0<x<1 において常に f(x) > 0 が成り立つから

0 < x < 1 において常に f(x) > 0 が成り立つような
定数 a の値の範囲
に
a=-1/4
は
含まれる

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/12 17:11

>0は範囲に含まれていないのにa=-1/4を含むのでしょうか？

???

x^2 + 1/4 > 4a(x - 1/4)

は a=0 では、左辺は正、右辺は0だから
任意のxで成り立つよね。

a=0 なら y=4a(x - 1/4) は x軸と重なる。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/12 17:06

a=-1/4 のとき

x=0 のとき　f(0)=0となるけれども
0<x<1 において常に f(x) > 0 が成り立つから
a=-1/4を含む

f(x)
=x^2-4ax+a+1/4
=(x-2a)^2-4a^2+a+1/4
≧-4a^2+a+1/4

放物線の軸x=2a≦0のとき
f(x)の下限は
f(0)=a+1/4≧0
-1/4≦a≦0 …①

放物線の軸x=2aが0<2a<1のとき
0<a<1/2
f(x)の最小値は
f(2a)=-4a^2+a+1/4>0
-16a^2+4a+1>0
16a^2-4a-1<0
a^2-a/4-1/16<0
(a-1/8)^2-5/64<0
0<a<(1+√5)/8　…②

放物線の軸x=2a≧1のとき
1/2≦a
f(x)の下限は
f(1)=-3a+5/4≦-1/4<0
だから
f(x)>0は成り立たない

①と②から
-1/4≦a<(1+√5)/8