効用関数

Question

消費者の効用関数
U(C1，C2)＝100C1の0.6乗C2の0.4乗　
という式があるのですが、どうして急に○乗が出てきたのか意味が分かりません。最終的には最適な消費量を求めたいのですが・・・
初学者なので、まったく的外れな質問かもしれませんが、どうぞ宜しくお願いします。

dynamic-m · Accepted Answer

効用最大化問題は，ラグランジュの未定乗数法を使うと楽にとけますが，初学者は，効用最大化条件から，解いて，その意味を理解するのが大切です．

教科書にも書いてあるように，その条件は，限界代替率をMRSと定義し，それは，C2をC1で微分してマイナスをつけたものが，つまり，MRS＝-d（C2）/d（C1）のことです．そして，また，それが，U(C1，C2)＝100C1の0.6乗C2の0.4乗を，C1で微分したものを，U1として，C2で微分したのもを，U2と書けば，
MRS＝U1/U2となります．最大化条件は，これが，C1とC2のそれぞれの価格，300と100によって，その価格比300/100＝3から，その条件は，

MRS＝U1/U2＝3(=p1/p2)と書けます．価格比を入れてしまいましたが，ここまでは，教科書の通りです．

また，計算には，U1,U2が必要ですから，すると，U1＝60C1の-04乗C2の0.4乗で，U2＝40C1の0.6乗C2の0.6乗となります．

よって，最大化条件は，

MRS＝（60C1の-04乗C2の0.4乗）/（40C1の0.6乗C2の0.6乗）＝（2/3)×C2/C1＝3より，

C2＝2C1となり，予算制約式300C1＋100C2＝10000（これは，100で割っておくと3C1＋C2＝100と簡単になります）のC2に代入して，C1を解くと，C1＝20
これを，予算制約式の3C1＋C2＝100に入れれば，C2＝40となります．

よって，最適な消費計画は，C1＝20，C2=40となっています．

iwow · Answer

予算制約もない効用関数を最大化しても意味はないですよ．

考えても見てください．
あなたが,1兆円以上もっていたとして，すべて消費をしたら，効用は大きくなるでしょう．2兆円ではもっとです．この0.6+04＝1というのは，まさに，消費が大きくなると，それと比例して，効用も大きくなるということを意味しています．
経済学的には，この効用関数は一次同次の効用関数といい，規模に関して収穫一定とも言います．

あなたの質問の情報からでは，
効用が無限大になるのが，いいに決まっているので，
最適な消費1，2とも，無限大になるでしょう．

結局，予算制約式がないといけないのは分かりましたか？

guowu-x · Answer

この関数形の場合、内点解になることは知っているものとします。（普通学部レベル、公務員試験レベルでは内点解になるように問題がつくってある）。
従って
MRS（限界代替率）＝価格比
が成り立ちます。
これと予算制約式により各財の消費量を求めることができます。
ラグランジュ乗数法を知っていれば、それによって同じ関係式が得られ解くことができます。

guowu-x · Answer

別に効用関数をこのように『定義』しただけですよ。
難しく考える必要はありません。

蛇足ながらこの効用関数にコメントしておくと、この関数はコブ・ダグラス型と呼ばれるものです。
一度、効用最大化問題を解いてみれば分かると思いますが、ちょうど、○乗＋△乗＝１の形になっていて、○乗の部分が所得に占めるその財への支出の割合を表します。

効用関数

効用最大化問題は，ラグランジュの未定乗数法を使うと楽にとけますが，初学者は，効用最大化条件から，解いて，その意味を理解するのが大切です．

予算制約もない効用関数を最大化しても意味はないですよ．

この回答への補足

この関数形の場合、内点解になることは知っているものとします。

別に効用関数をこのように『定義』しただけですよ。

この回答への補足

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