内積、外積は何を求めてるの？

図形なら、面積とか、体積を求めていると
想像できますが、ベクトルではその計算で
何が求められるの？

何に役に立ってるの？

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2005/09/19 10:17

内積は１つのベクトルを方向成分に分解したとき、その方向成分の大きさを求めるときに使います。

たとえば、ガウスの定理のようにある領域からのある物理量の流出量を求めようとすると
∫E・n dS
などのように内積をとります。ここでE,nは電界ベクトル、領域表面の法線方向の単位ベクトルです。

外積は２つの物理量ベクトルが相互作用したときに２つのベクトルの作る平面に対して垂直方向のベクトルが発生することを説明するために利用されています。

１．回転体に力を加えると垂直方向に加速度がが発生します。
運動方程式dp/dt=F　はrとのベクトル積を取ると
dL/dt=N となる。L=r×p N=r×F

２．ローレンツの力、移動電荷と磁界の関係
　　F=qE+qv×B

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2005/09/19 10:11

物理・工学のお話しかでてないようなので

数学ではということで

(1)内積
いわゆる「正射影」を求めます
長さ1のベクトルbの真上から光をあてて
ベクトルaのベクトルbに対する「影」の長さは
|a|cosθ（θはベクトルaとベクトルbのなす角）
です．
長さ1ではないベクトルbに対しても
同様の扱いをしたければ，素直に|b|倍して
|a||b|cosθ
とするのが自然です．
ということで，内積は|a||b|cosθと定めます

更にこの内積は都合のよい性質を
四つほど満たしています

矢印ベクトル以外の一般のベクトルに対しては
その四つの性質を満たす演算を内積と定義します．
＃だから本当は内積は一種類とは限りません．
＃しかし，どれでも
＃実は「正射影」のような意味で
＃捉えることができます
＃＃矢印ベクトルの世界の場合は
＃＃仮に異なる内積を作ったとしても
＃＃意味全部「同じ」ということも証明されてます

(2)外積
3次元空間で二つのベクトルから
その両方に垂直なベクトル（の一つ）を
求めるのが外積です．
これはベクトル空間の基底を構成する一つの方法です

同時に「体積」の構成もできます．
つまり，三次元ベクトルa, b, cに対して
(a x b)・cの絶対値は
a, b, cで構成される平行六面体の体積です
＃ここで，x は外積，・は内積です
どうしてこれで体積なのかというのは
内積が正射影であることと
外積の長さが実は「面積」（|a||b|sinθ）に
なることを考えると理解できるでしょう

＃一般のベクトルに対しても
＃外積は定義できますが，
＃内積ほどは使われません
＃＃定義も厄介ですし，内積ほど便利ではないのです

No.3 回答者： fjnobu 回答日時： 2005/09/19 09:40

物理では、力の計算、弾道計算、X・Y・Z軸別々に動く時の実際の速度の計算に使います。

電磁気では、交流回路の電圧・電流・電力計算に使います。
ベクトルの考え方でないと、実質の量がわかり難くなります。

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/09/19 08:14

＞何に役に立ってるの？

電磁気学の基本にマクスウェルの方程式、というのがあるのですが、これを表現するのに内積・外積、スカラー倍の3種類とも使われています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF% …

ベクトル解析・ベクトル場の理論では欠かせないものです。
http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula …
はっきりいってこれ無しだと電波をちゃんと飛ばすのもつらいです。

No.1 回答者： graduate_student 回答日時： 2005/09/19 02:23

ベクトルの内積

http://www.web-sky.org/program/dot_product.html

ベクトルの外積
やはり面積や体積の算出に役立つと思います．
ほかにもプログラミングをしているときに役に立つ時もあります．