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授業の問題演習で先生が出題したのですが、先生が問題の出典を忘れてしまい、授業中にみんなで解いたのですが、誰も答えまでたどりつけませんでした。(先生もです…。)
自分でもう1回解いてみたんですが、やっぱり答えまでたどりつけません。
どうか考え方を教えてください。
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問.
三角形ABCの3辺の長さは、AB=6,BC=2√13,CA=8である。
ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc とおくとき、内積 ベクトルb・ベクトルc の値を求めよ。
また、三角形ABCの外心Oとして、ベクトルAOをベクトルb,ベクトルcを使って表せ。
------------------------
【途中までの解】
内積は24とでました。(余弦定理から∠A=60°。内積の公式から6×8×1/2=24)
ここからがわかりません。
とりあえず外接円の半径Rを正弦定理から求め、
R=2√39/3 という値が出ました(←この値はあっていますか?)
つまり、|ベクトルAO|=|ベクトルBO|=|ベクトルCO|=R ということになりますよね?
ここからいろいろなやり方を試行錯誤しているのですが、どれも答えまではたどりつけません。
最初に思いついたのは、
ベクトルAO=ベクトルAB+ベクトルBO
また、ベクトルAO=ベクトルAC+ベクトルCO
のようにベクトルAOをいろいろなベクトルで表現して最後に係数比較するやりかたでした・・・・。
なにか別の方法はありますか?それともこのまま工夫すれば答えまで行けるのでしょうか??
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
外心をOとすると、
AO=sAB+tAC(s,tは実数)と表せる。
Oを通り直線ABと直交する直線はABの中点を通るので
{AO-(1/2)AB}⊥AB よって
[{s-(1/2)}AB+tAC]・AB=0
{s-(1/2)}|AB|^2+tAB・AC=0 AB=6 AB・AC=c・b=24
36{s-(1/2)}+24t=0
36s+24t=18
6s+4t=3
これを同様にACでもやると
{AO-(1/2)AC}⊥AC よって
{t-(1/2)}|AC|^2+sAB・AC=0 AC=8 AB・AC=c・b=24
64{t-(1/2)}+24s=0
24s+64t=32
6s+16t=8
よって12t=5 t=5/12 s=2/9
AO=(2/9)AB+(5/12)AC
=(2/9)b+(5/12)c
たぶんこんな感じ。
参考URL:http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target= …
外心の定義を使うんですね。
やってみたらご回答通りの答えになりました。
半径の大きさにこだわってしまったので、せっかく内積=0の式を立てていたのに、気付かなかった自分が悔しいです。。。
詳しい解説ありがとうございました!
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