|X|=4、|Y|=3であるとき、写像f:X→Yで全射になる写像の総数はいくらか

この回答は36なのですが、考え方が良くわかりません、誰か教えてください、お願いします

A 回答 (2件)

 


  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で12ですが、これは順列でないので、2で割ると6が出てきます。
 
  Xの四個の要素のなかで、二つを選ぶと、残りの二個は自動的に決まります。つまり、6通りに分けて、それぞれ要素が違う三つの要素があると考えてよいのです。こう言っても分かりにくいかも知れませんから、具体的に、その6通りを以下に書いてみます。X={a,b,c,d}とします。
 
  ケース1){(a,b),c,d}
  ケース2){(a,c),b,d}
  ケース3){(a,d),b,c}
  ケース4){(b,c),a,d}
  ケース5){(b,d),a,c}
  ケース6){(c,d),a,b}
 
  これら6個のケースは、すべて要素が違う集合と考えても構いません。Yの三つの要素の位置に、これら6ケースごとで、三つの要素を入れて行く(対応させて行く)ことを考えると、これが、X→Yの全射になります。6個のケースで、三つの要素の順列を入れ替えても、6個のケースで、同じ、重複した順序はできません。
 
  従って、Yの三つの位置に対する順列を取ると、3・2・1=6で、これと、ケースの数6をかけると、6・6=36になり、これが、答えです。
 
  注記)六個のケースの三つの要素(二つの要素の組み合わせで、一つの新しい要素を造っていることに注意)の順列をどう入れ替えても、6個のケース全体で、同じ重複した組み合わせはできないというのがポイントです。「二重要素」を定義しているので、重複が排除されるのです。
 
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|X|はXの要素数という意味でしょうか?


ここではそうだと解釈します。

X={a,b,c,d},Y={x,y,z}とします。
fは全射ですからf(X)=Yとなります。
つまり、f(a),f(b),f(c),f(d)のいずれかはxでいずれかはyでいずれかはzとなります。

これは、f(a),f(b),f(c),f(d)のいずれか2つは同じ値になることをあらわします。
その同じ値となるXの元の組み合わせは(4*3)/(2*1)=6通りとなります。

つぎに、同じ値となるXの元、それ以外の値となるXの元(アルファベット順で若い方)、それ以外の値となるXの元(アルファベット順で後の方)がそれぞれfによってYのどの値に移されるかを考えると、これは順列となるので、可能性としては3*2*1=6通りとなります。

以上の可能性を掛け合わせると、写像f:X→Yで全射になる写像の総数が出てきます。

この回答への補足

これは、f(a),f(b),f(c),f(d)のいずれか2つは同じ値になることをあらわします。
その同じ値となるXの元の組み合わせは(4*3)/(2*1)=6通りとなります。

ここがよく分からないのですが...

補足日時:2002/01/31 23:24
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Q大学数学 全射と単射

次の問いが正しければ証明し、間違っていれば凡例をあげよ。
(1)fが単射ならばg○fは単射
(2)gが全射ならばg○fは全射
(3)fが単射、gが全射ならばg○fは全単射

という問題についてなのですが、
例えば(1)はgが全射か単射かによって場合分けをして考えるのでしょうか。

g,fともに全射ならばg○fは全射
g,fともに単射ならばg○fは単射

ということは証明できたのですが、g,fの片方が全射でもう片方が単射の場合の証明方法がわかりません。

また「凡例をあげる」というのは、どのように書けば良いのでしょうか?具体的な関数(y=x^2等)を書けということなのですか?

ヒントやアドバイスでも良いので、どなたか回答をお願いいたします。

Aベストアンサー

よくやっちゃうけど「凡例」じゃなくて「反例」だよね. で, 「反例をあげる」ときには, 具体的な物を見せて「その場合に命題が成り立たない」ことを示せば OK.
あと場合わけについて「gが全射か単射かによって場合分けをして」と書かれてますけど, これは「場合わけ」になってないです. 「全射でも単射でもない写像」が漏れてますよ.
そのあとで「g,fともに単射ならばg○fは単射は証明できた」と書かれているので, この場合
・g が単射か単射でないか
で分ける必要があります.
(1), (2), (3) すべてアウトのような気がするなぁ.

Q写像に関する問題で単射、全射、全単射を選ぶ問題についての質問です

大学の問題で、

関数f,g:N→Nを以下のように定義する。

f(n) = 3n, g(n) = [n/3]+1     ※[ ]は床関数を表す

fとgの合成gfが満たす性質を選べ。
(A)単射でも全射でもない(B)単射だが全射ではない
(C)全射だが単射ではない(D)全単射である

という問題なのですが、gfが1となる元が存在しないので(B)の単射だが全射ではないと思うのですが、回答を見たら(D)の全単射でした。なぜ全射になるのか分らないのですが、教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

その通り。
gf は、全射ではないです。
考えられるのは、定義域が自然数でなくて、
実は、整数だった… というオチぐらいかなぁ。
合成 fg の見間違いだとしても、
(A) にしかならないし。

Qfを集合Xから集合Yへの全射とするとき、|X|≧|Y|を証明せよ。

fを集合Xから集合Yへの全射とするとき、|X|≧|Y|を証明せよ。

お手数ですが、どなたかご解答お願いします。

Aベストアンサー

選択公理より自明・・・じゃ駄目なんだろうなあ

#1さん御指摘のように
濃度の大小の定義,
選択公理を知らなければ無理です.

--------------------
Yの任意の元yに対して,fは全射なので f^{-1}(y)は空ではない
そこで,
{ f^{-1}(y) | yはYの元 }
なる集合族を考える(これはXの互いに交わらない分割をなす).
「選択公理」より
各 f^{-1}(y) から一つの元 g(y) を選ぶことができる.
これによって写像 g:Y -> X を定める.
このとき,g(y)=g(y') とすると
y=f(g(y)) (g(y)はf^{-1}(y)の要素)
=f(g(y'))
=y'
したがって,gは単射.
よって,題意は示された.

Q全射の定義

f:A→Aが全射であることの定義ですが
「任意の元a∈Aに対して、a=f(α)を満たす元α∈Aが存在するときfを全射という」
「任意の元a∈Aに対して、A=f(A)が成り立てばfは全射である」
この2つの書き方はどちらも合っているのでしょうか?
それとも意味が違ってるのでしょうか?教えてほしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

意味が違っています.一番の問題点は,

f: A->A

っていうふうに写す側も写される側もAにするからややこしいんだよ.これは,問題なんかで出てくる特殊な場合でしょう.

f: A->B

としておいて,全射とは,任意の「b in B」に関して,「f(a) = b」となる 「a in A」があるって意味です.

つまり,Bのどんな要素も,関数fによって,Aのある要素(複数可)から何らかの形で写されていると言う意味でしょう.だから,

>「任意の元a∈Aに対して、a=f(α)を満たす元α∈Aが存在するときfを全射という」

というのは変じゃない.なんで両方元Aになるわけ!?「任意のa∈Aに対して」(正確には写され先のA)というならわかるけど,一般に人に説明するとき,Aを2種類書くのは表現が悪い.

写像の概念を分っていないですね.書き写しても駄目だぞ.頭の中にイメージできるようでないと.

参考のURLで要勉強.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84

意味が違っています.一番の問題点は,

f: A->A

っていうふうに写す側も写される側もAにするからややこしいんだよ.これは,問題なんかで出てくる特殊な場合でしょう.

f: A->B

としておいて,全射とは,任意の「b in B」に関して,「f(a) = b」となる 「a in A」があるって意味です.

つまり,Bのどんな要素も,関数fによって,Aのある要素(複数可)から何らかの形で写されていると言う意味でしょう.だから,

>「任意の元a∈Aに対して、a=f(α)を満たす元α∈Aが存在するときfを全射という」

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Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Q基本的な事ですが…(単射、全射、onto…)

単射、全射、全単射、onto、1対1。

これらの意味を教えてください。
きっと同じ事を言っているのもあるとは思いますが。

Aベストアンサー

写像f:A→Bにおいて、
・全射:f(A)=Bとなる場合。
・単射、1対1:x<>x’→f(x)<>f(x’)
・全単射:上記の二つの条件を満たす場合。
ということです。つまり、二つの集合A、Bにおいて、Aの各元xにBの元yを対応させる写像(関数だと思うとわかりやすい)f(f(x)=y)があるとき、
 ・Bのすべての元が、f(x)=yと言う形で書ければ、全射。
 ・AとBの元が、全部1対1で対応していれば、単射。
 ・AとBの元が1対1対応で、しかも表現しきれない部分がなければ、全単射。
だと思います。ontoはわかりません。ごめんなさい・・・。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q全射、単射

例えば、「f:A→B,g:B→C,x∈Aの時g・f(x)が全射⇒f(x)は全射を示せ。」
という問題なんですが、g・f(x)の意味がよく分からず問題の解き方がわかりません。
だれかぜひ教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

写像fは、集合Aの元xを、集合Bの元f(x)に移します。
更に写像gが、集合Bの元f(x)を、集合Cの元g(f(x))に移します。
g・f(x)は、g(f(x))のことで、g・fは、集合Aの元xを、集合Cの元g(f(x))に移す写像のことです。

この問題の場合、g・fが全射なので『Cの任意の元cに対し、c=g・f(x)となるx∈Aが存在する。』が条件で、
証明することは、fが全射なので『Bの任意の元bに対し、b=f(x)となるx∈Aが存在する。』です。

QX-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、

X-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、x/y=u,y=vとして、U-V平面での領域で表したいのですが、どうにもできません。誰か教えてください。

Aベストアンサー

定義域をどう変換したら良いかわからないという意味の質問と捉えるならば、(<、>の下の等号は省略)
0<x<1 より両辺を足したり引いたりすれば、
1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
0<uのみとなる。
結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 


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