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|X|=4、|Y|=3であるとき、写像f:X→Yで全射になる写像の総数はいくらか

この回答は36なのですが、考え方が良くわかりません、誰か教えてください、お願いします

A 回答 (2件)

 


  この問題に関しての回答でよいということなら記します。
 
  XとYは、要素の差が1しかありません。これがもっとたくさんだと、計算が複雑で解きにくいのですが、ここでは、差1なので、順列組み合わせの考え方を使います。
 
  Yの要素は3個ですから、これを三つの位置と考え、この位置に、Xの四つの要素を入れて行くことにします。この場合、Xの要素のどれか二つが、Yの同じ位置に入ることになります。そこで、Xの要素から二つを組み合わせる可能性の数を考えると、それは4・3で12ですが、これは順列でないので、2で割ると6が出てきます。
 
  Xの四個の要素のなかで、二つを選ぶと、残りの二個は自動的に決まります。つまり、6通りに分けて、それぞれ要素が違う三つの要素があると考えてよいのです。こう言っても分かりにくいかも知れませんから、具体的に、その6通りを以下に書いてみます。X={a,b,c,d}とします。
 
  ケース1){(a,b),c,d}
  ケース2){(a,c),b,d}
  ケース3){(a,d),b,c}
  ケース4){(b,c),a,d}
  ケース5){(b,d),a,c}
  ケース6){(c,d),a,b}
 
  これら6個のケースは、すべて要素が違う集合と考えても構いません。Yの三つの要素の位置に、これら6ケースごとで、三つの要素を入れて行く(対応させて行く)ことを考えると、これが、X→Yの全射になります。6個のケースで、三つの要素の順列を入れ替えても、6個のケースで、同じ、重複した順序はできません。
 
  従って、Yの三つの位置に対する順列を取ると、3・2・1=6で、これと、ケースの数6をかけると、6・6=36になり、これが、答えです。
 
  注記)六個のケースの三つの要素(二つの要素の組み合わせで、一つの新しい要素を造っていることに注意)の順列をどう入れ替えても、6個のケース全体で、同じ重複した組み合わせはできないというのがポイントです。「二重要素」を定義しているので、重複が排除されるのです。
 
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|X|はXの要素数という意味でしょうか?


ここではそうだと解釈します。

X={a,b,c,d},Y={x,y,z}とします。
fは全射ですからf(X)=Yとなります。
つまり、f(a),f(b),f(c),f(d)のいずれかはxでいずれかはyでいずれかはzとなります。

これは、f(a),f(b),f(c),f(d)のいずれか2つは同じ値になることをあらわします。
その同じ値となるXの元の組み合わせは(4*3)/(2*1)=6通りとなります。

つぎに、同じ値となるXの元、それ以外の値となるXの元(アルファベット順で若い方)、それ以外の値となるXの元(アルファベット順で後の方)がそれぞれfによってYのどの値に移されるかを考えると、これは順列となるので、可能性としては3*2*1=6通りとなります。

以上の可能性を掛け合わせると、写像f:X→Yで全射になる写像の総数が出てきます。

この回答への補足

これは、f(a),f(b),f(c),f(d)のいずれか2つは同じ値になることをあらわします。
その同じ値となるXの元の組み合わせは(4*3)/(2*1)=6通りとなります。

ここがよく分からないのですが...

補足日時:2002/01/31 23:24
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