No.1ベストアンサー
- 回答日時:
どうすればいいってZ軸について∬ρ(x^2 + y^2)dVをやれ、ぐらいしかいえないと思いますが・・・。
No.2
- 回答日時:
私、この問題をやったことがない初心者なんですけど、やってみます。
(重積分も理解していないので、地道にやります。)
軸の周りに、
Σ[質量×(軸からの距離)^2]
という無限の足し算をやればよいんですよね?
たぶん、こんな手順でよろしいかと。
底面の半径がR、高さをhと置きます。
頂点から底面に向かう方向の距離(低さ)をxと置きます。
低さxにおける断面(円)の半径をrと置けば、
r=R・x/h
ですよね?
そして、頂点の座標を(r、x)=(0,0)として、これを基準(始点)として考えます。
円錐の密度はρ[kg/m^3]と置きます。
1.
無限に薄く輪切りにしたときの、半径r、無限に薄い(=厚さdxの)円盤の慣性モーメントを求める。
2.
1で求めた円盤を、x=0からx=hまで足し算(積分)する。
= 円錐の慣性モーメント
1.
この円盤の中心からの距離(座標)を、kと置きます。
円盤は、無限に細い(=太さdkの)「円の輪郭」(=円周部分)集まりです。
(厚さはdxですが、計算の途中に書くと煩雑なので、後で掛けます。)※
その、1つの円輪郭の質量は、ρ・2πk・dk
これが中心からkの距離にあるので、その1つの円輪郭の慣性モーメントは、
ρ・2πk・dk・k^2 = 2πρ・k^3・dk
半径0から半径rまでの円輪郭の慣性モーメントの合計(積分)は、
2πρ∫k^3・dk = 2πρ[k^4/4](k=0→r)
= 2πρ・r^4/4
= πρr^4/2
これが、厚さゼロの円盤の慣性モーメントです。
仕上げに、(上記の※の)厚さdxを掛けて、
πρr^4/2・dx
が、円盤の慣性モーメントです。
2.
1の結果を、x=0からx=hまで足し算(積分)すれば、円錐の慣性モーメントです。
円錐の慣性モーメントは
∫πρr^4/2・dx = ∫πρ(R・x/h)^4/2・dx
= πρR^4/(2h^4)・∫x^4・dx
= πρR^4/(2h^4)・[x^5/5](x=0→h)
= πρR^4/(2h^4)・h^5/5
= πρhR^4/10
となりました。
(ρ:円錐の密度[kg/m^3]、h:円錐の高さ、R:底面の半径)
さて、
ここから先が必要かどうか不明ですが、円錐の質量をMとして、上記からρを消去してみます。
円錐の体積は、厚さdx、面積πr^2の円盤の集まり。
それから、さっきと同じで r=R・x/h
円錐の体積は
∫πr^2・dx = ∫π(R・x/h)^2・dx
= πR^2/h^2・∫x^2・dx
= πR^2/h^2・[x^3/3](x=0→h)
= πR^2・h/3
だから、円錐の質量Mは、
M = ρπR^2・h/3
したがって
ρ = 3M/(πR^2・h)
よって、円錐の慣性モーメントは
πρhR^4/10 = π・3M/(πR^2・h)・hR^4/10
= 3/10・MR^2
(M:円錐の質量、R:底面の半径)
以上ですが、このような考え方でどうでしょうか?
ちなみに、
私、計算が苦手なので(本当です)自信がありません。
とりあえず、2つの結果の次元が、どっちも、
キログラム×メートル×メートル
にはなっているので、その点だけは大丈夫かも、です。
検証・検算してみてください。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 化学 化学 物理 回転定数Bより、HCl分子の慣性モーメントを計算せよ。HとClの質量は文献の値を用いよ。 4 2023/06/12 18:17
- 化学 化学 物理 回転定数Bより、HCl分子の慣性モーメントを計算せよ。HとClの質量は文献の値を用いよ。 3 2023/06/12 16:33
- 物理学 半径rの滑車の両端に質量mのおもりをぶら下げて、片方のおもりを速度vで降下させたとします。 このとき 6 2023/05/09 19:10
- 物理学 図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M 7 2023/02/15 09:23
- 物理学 電磁気学 磁気物理学 磁気モーメント 2 2022/10/18 22:19
- 物理学 摩擦クラッチを含む回転軸系で1次側と2次側の慣性モーメントはそれぞれ 3kgm^2,5kgm^2 で 4 2022/08/09 23:30
- 工学 長文になって申し訳ございません。 材料力学についての質問です。 写真のように部材ごとに分けて部材に働 1 2022/11/12 21:35
- 物理学 ジャイロ効果がある回転体の作り方 4 2023/08/10 22:40
- 物理学 写真のような物体の転倒条件に関しての質問があるのですが、 写真ではG(重心)まわりのモーメントの釣り 5 2023/01/11 22:48
- 工学 等分布荷重の曲げモーメント計算について 1 2022/08/16 14:36
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
重量から質量換算ってできるの...
-
(問題) エレベーターの床上に...
-
500N(ニュートン)を例えると
-
面積比と質量比が同じなのは・・
-
衝撃を質量で表す?
-
密度の単位について質問です
-
原子量を求める計算の定理
-
質量パーセント濃度28%のアンモ...
-
【N/mm2→kg/mm2】単位換算
-
振動数vの振動子N個からなる系...
-
kgf/cm2のfってどういう意味で...
-
ボーリング玉とティッシュ紙1枚...
-
電圧(V)を質量(kg、g)への...
-
衝撃力の計算方法
-
gとg重の違い
-
密度ρ、半径a、厚さdの円盤の中...
-
明治ブルガリアヨーグルト ブ...
-
物理用語について
-
(物理学得意な方)雹落下時の...
-
光の速さで蹴られると
おすすめ情報