慣性モーメント

特に円錐の慣性モーメントが出せません。
どのようにすればいいのか教えてください

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2006/04/15 01:24

私、この問題をやったことがない初心者なんですけど、やってみます。

（重積分も理解していないので、地道にやります。）


軸の周りに、
Σ[質量×（軸からの距離）^2］
という無限の足し算をやればよいんですよね？

たぶん、こんな手順でよろしいかと。

底面の半径がＲ、高さをｈと置きます。
頂点から底面に向かう方向の距離（低さ）をｘと置きます。
低さｘにおける断面（円）の半径をｒと置けば、
ｒ＝Ｒ・ｘ／ｈ
ですよね？

そして、頂点の座標を（ｒ、ｘ）＝（０，０）として、これを基準（始点）として考えます。

円錐の密度はρ[kg/m^3]と置きます。


１．
無限に薄く輪切りにしたときの、半径ｒ、無限に薄い（＝厚さｄｘの）円盤の慣性モーメントを求める。

２．
１で求めた円盤を、ｘ＝０からｘ＝ｈまで足し算（積分）する。
　＝　円錐の慣性モーメント



１．
この円盤の中心からの距離（座標）を、ｋと置きます。
円盤は、無限に細い（＝太さｄｋの）「円の輪郭」（＝円周部分）集まりです。
（厚さはｄｘですが、計算の途中に書くと煩雑なので、後で掛けます。）※

その、１つの円輪郭の質量は、ρ・２πｋ・ｄｋ

これが中心からｋの距離にあるので、その１つの円輪郭の慣性モーメントは、
ρ・２πｋ・ｄｋ・ｋ^2 ＝ ２πρ・ｋ^3・ｄｋ

半径０から半径ｒまでの円輪郭の慣性モーメントの合計（積分）は、
２πρ∫ｋ^3・ｄｋ ＝ ２πρ［ｋ^4／４］(k=0→r)
　＝ ２πρ・ｒ^4／４
　＝　πρｒ^4／２
これが、厚さゼロの円盤の慣性モーメントです。

仕上げに、（上記の※の）厚さｄｘを掛けて、
πρｒ^4／２・ｄｘ
が、円盤の慣性モーメントです。


２．
１の結果を、ｘ＝０からｘ＝ｈまで足し算（積分）すれば、円錐の慣性モーメントです。
円錐の慣性モーメントは
∫πρｒ^4／２・ｄｘ ＝ ∫πρ(Ｒ・ｘ／ｈ)^4／２・ｄｘ
　＝ πρＲ^4／(２ｈ^4)・∫ｘ^4・ｄｘ
　＝ πρＲ^4／(２ｈ^4)・［ｘ^5／５］(x=0→h)
　＝ πρＲ^4／(２ｈ^4)・ｈ^5／５
　＝ πρｈＲ^4／１０
となりました。
（ρ：円錐の密度[kg/m^3]、ｈ：円錐の高さ、Ｒ：底面の半径）



さて、
ここから先が必要かどうか不明ですが、円錐の質量をＭとして、上記からρを消去してみます。

円錐の体積は、厚さｄｘ、面積πｒ^2の円盤の集まり。
それから、さっきと同じで　ｒ＝Ｒ・ｘ／ｈ
円錐の体積は
∫πｒ^2・ｄｘ ＝ ∫π（Ｒ・ｘ／ｈ）^2・ｄｘ
　＝ πＲ^2／ｈ^2・∫ｘ^2・ｄｘ
　＝ πＲ^2／ｈ^2・［ｘ^3／３］(x=0→h)
　＝ πＲ^2・ｈ／３

だから、円錐の質量Ｍは、
Ｍ ＝ ρπＲ^2・ｈ／３

したがって
ρ ＝ ３Ｍ／（πＲ^2・ｈ）

よって、円錐の慣性モーメントは
πρｈＲ^4／１０ ＝ π・３Ｍ／（πＲ^2・ｈ）・ｈＲ^4／１０
　＝ ３／１０・ＭＲ^2
（Ｍ：円錐の質量、Ｒ：底面の半径）


以上ですが、このような考え方でどうでしょうか？

ちなみに、
私、計算が苦手なので（本当です）自信がありません。
とりあえず、２つの結果の次元が、どっちも、
キログラム×メートル×メートル
にはなっているので、その点だけは大丈夫かも、です。

検証・検算してみてください。

この回答へのお礼

完璧でしかも丁寧な文章ありがとうございます。
助かりました

お礼日時：2006/04/15 02:03

No.1 ベストアンサー 回答者： gooojin 回答日時： 2006/04/14 22:11

どうすればいいってZ軸について∬ρ(x^2 + y^2)dVをやれ、ぐらいしかいえないと思いますが・・・。

この回答への補足

ｄVが分かりません。
円錐はどのようにdxdyにしたらいいのでしょうか？
また2重積分するにしてもその範囲だとかが分かりません

補足日時：2006/04/14 22:33