高校生じゃないけど、高校数学勉強してます。
よくあるマスター本でです。

そのなかの法則として
“等比数列の連立方程式は、両辺を割る”
なんてのがあります。

中学で数学をやめた私は連立方程式と言うと
みなさんご存知の方法を連想します。

その問題だとこんな連立方程式です。
ar=8 -----1
ar^3=128 -----2

1÷2 ar^3  128
    ----- = ----
     ar   8

これを解くと、r=4 a=2(もちろん+-)

わからないのは
1と2の割り方。わるとあんな式になるのがわからない。

問題全部かけなくてすんませんが、質問の意味わかる方、
よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

質問に対して回答いたします。


まず、Scotty99 さんが疑問を持たれているのは正しいです。
なぜなら(1)式を(2)式で割れば、すなわち(1)÷(2)を計算すると

ar^3    128
----- = -----
ar      8



にはなりません。ちなみに(2)÷(1)を計算すると上の式になります。

(1)÷(2)を計算すると正しくは

ar      8
----- = ----
ar^3    128

となります。


(割られる式)÷(割る式)

    (割られる式)
=--------
     (割る式)

となります。

よく分母・分子が逆になってしまう間違えが多いので気をつけてください。

以下は(2)÷(1)で考えることとします。

さて(1)式も(2)式も方程式です。
すなわち(1)、(2)ともに左辺と右辺がイコールで結ばれています。
つまり今、(1)、(2)それぞれ左辺の値と右辺の値が等しいです。

(2)÷(1)をするというのは、
(2)の左辺と右辺の値両方ともそれぞれ(1)の値で割るということです。
(1)は左辺と右辺の値が等しいのでどっちで割っても構いません。

でも後の計算のことを考えたら、

(2)の左辺は同じ文字aとrが入った(1)の左辺で割り、
(2)の右辺は数なので、(1)の右辺で割ったほうが良いですね。
(2)の左辺を(1)の左辺で割り、(2)の右辺を(1)の右辺で割ると
同じ値を同じ値で割るのだから
当然値が等しくなる上、きれいに約分することができます。

約分すると
  r^2=16
というじつにシンプルな式になります。

おそらくScotty99さんは(2)÷(1)の意味は
「方程式まるごと方程式で割る」
というイメージがあったと思います。

そうではなく割り算は必ず(割られる式)と(割る式)が存在するので
割り算をするときはどれが割られる式でどれが割る式かつねに意識してください。
割られる式、割る式のところに方程式がくることはありません。
普通の値がきます。

今は(2)÷(1)で説明しましたが、当然(1)÷(2)で計算しても
最終の答えは同じになります。試してみてください。
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この回答へのお礼

>つまり今、(1)、(2)それぞれ左辺の値と右辺の値が等しいです。

ここわかりやすかったです。拙い質問もつたわったようですね。
わざわざこんなに書いてくださてありがとうです。
これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2002/03/16 23:13

あと、


128÷8

128/8(分数)
は同じ意味です。
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この回答へのお礼

わざわざ補足どうもです。

お礼日時:2002/03/16 23:08

左辺は左辺同士、右辺は右辺同士割る、ということです。


ただし、(2)÷(1)が正しいようですが。

この場合、
(左辺)=ar^3÷ar=r^2
(右辺)=128÷8=16
これから、(左辺)=(右辺)よりrが求まり、式に代入するとaも求まります。

根拠としては、(1)式では、右辺と左辺が等しいです。(2)式でも、右辺と左辺は等しいです。ですから、(1)と(2)についてそれぞれ計算したものも、右辺と左辺は等しくなるはずです。

こんなんで回答になりましたでしょうか?
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この回答へのお礼

解決の糸口いみえてきました。
もうちょっとがんばります。

お礼日時:2002/03/16 23:08

(ar^3)/(ar)という式を1と2を使って書き換えていくと、


(ar^3)/(ar)=128/(ar) …1を使用
      =128/8   …2を使用
となります。それを略記して1÷2と書いている、と考えてはいかがでしょうか。

この方法で理解できなければ補足願います。
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この回答へのお礼

うまく質問の真意が伝わりませんでしたね。ちゃんと書かなくてはいけませんでした。でも回答ありがとうです。
またお願いします。

お礼日時:2002/03/16 23:07

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なぜこうなりますか?
2X+2Y=0
ではないでしょうか?
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Aベストアンサー

dy
―=
dx

dy dt
―・―
dt dx
の公式使います

dy^2
―  =
dx

dy^2 dy
―  ―  =
dy  dx

 dy
2y―
 dx

dy/dxっていうのはy'と書くこともできますから

2x+2yy'=0⇔x+yy'=0になります

Q連立方程式x^2+y^2=1...(1)、x+y=1...(2)

連立方程式x^2+y^2=1...(1)、x+y=1...(2)
をとけ。
2つI、IIの同値関係が考えられると思うのですが、
Iのほうが正しくて、IIのほうは間違っていると
見抜けないと間違った方で計算して言ってしまうことになります。
この場合は簡単な式なので、分かるのですが、判断しづらいとき
もあります。同値の関係式を作っていく上でどんなことに
注意していけばよいのでしょうか。よろしくおねがいします。
(1)と(2)から、x^2-x=0...(3)
I(1)かつ(2)<->(2)かつ(3)
II(1)かつ(2)<->(1)かつ(3)

Aベストアンサー

(1)をf(x,y)=0, (2)をy=g(x)とすると
(1)に(2)を代入した(3)はf(x,g(x))=0となります。
この時(2)と(3)からは(1)が導けますが、(1),(3)からは必ずしもy=g(x)とならずに
例えば今回の場合はy=±(1-x)となってしまうということです。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

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Aベストアンサー

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②1つ目の式をy=にして2つ目の式に代入
③2つ目の式をx=にして1つ目の式に代入
④2つ目の式をy=にして1つ目の式に代入


x=(2y-1)/3
(2y-1)/3+y=8
5y-1=24
y=5
x=3


y=(3x+1)/2
x+(3x+1)/2=8
5x+1=16
x=3
y=5


x=8-y
2y=3(8-y)+1
5y=25
y=5
x=3

④y=8-x
2(8-x)=3x+1
15=5x
x=3
y=5


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