自然数Nをいくつかの自然数に分割してから積をとるときの最大値

与えられた自然数Nに対して、Nをいくつかの自然数に分割してから積をとる。
このとき、その積が最大となるのはどのように分割したときでしょうか？

たとえば、

５＝３＋２
と分解したとき、積の最大値は６

６＝３＋３
と分解したとき、積の最大値は９

７＝３＋４＝３＋２＋２
と分解したとき、積の最大値は１２

１０＝３＋３＋４＝３＋３＋２＋２
と分解したとき、積の最大値は３６

このように分割の個数はいくつでもいいです。

できるだけ、３ずつに分割したほうがよさそうなことが予想できると思います。

この辺の証明や、また、条件を適度に変えたときの話題について、アイデアがありましたら、教えていただけないでしょうか？

たとえば、和と積を交換したら、どのような結果が予想されるでしょうか？

No.1 回答者： Ichitsubo 回答日時： 2006/08/22 21:08

16を3つの自然数に分けた場合、

14,1,1　　10,1,5　　8,1,7　　7,3,6
13,1,2　　10,2,4　　8,2,6　　7,4,5
12,1,3　　10,3,3　　8,3,5　　6,4,6
11,1,4　　9,2,5　　_8,4,4　　6,5,5
11,2,3　　9,3,4　　_7,2,7
の19通りがあり、その組の積の最大値は6,5,5の時で150
しかし4,4,4,4と4分割をすると積は256となり矛盾。

説が正しくないことが証明された。

この回答へのお礼

>説が正しくないことが証明された。

僕が書いた説とは、

できるだけ、３ずつに分割したほうがよさそうなことが予想できると思います。

つまり、３個に分割という意味ではなく、成分ができるだけ３であったほうがいいという意味です。

N=3+3+3+・・・+3
or
N=3+3+3+・・・+3+4

という意味です。

16=3+3+3+3+4

がたぶん、積が最大になる分割でしょう。

お礼日時：2006/08/22 21:29