2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

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A 回答 (8件)

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。

このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。
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この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。何度もお返事いただいてどうもありがとうございました!大変参考になりました。これからもこのスレッドを参照して勉強していこうと思います。さようなら。

お礼日時:2002/04/05 08:10

stomachmanさん、おひさしぶりです。



7.3x^4+ax^2+12=0  …(1)の根がすべて実数であるようにaの値の範囲を求めよ。

<私がよくやる解>
x=0は、(1)式の解ではない。そこで、(1)式を0<x^2で割ると、
3x^4+ax^2+12=0
⇔3x^2+a+12/x^2=0
⇔3x^2+12/x^2=-a
⇔-3x^2-12/x^2=a   …(2)

よって、左辺=g(x) とすると、問題は、曲線y=g(x)とy軸に平行な直線y=aが交点をもつように、aの値の範囲を求めよと言い換えられる。つまり、文字定数分離のやり方だ。

この解法は視覚的に、図形を書いて求められるので楽だ。ちなみに、答えはa≦-12である。
しかーし!この解法は数(3)入ってるので、文系には駄目だ。そこで、本題に入ります。

3x^4+ax^2+12=0 …(1)
x^2=tとおくと、
3t^2+at+12=0 …(2)
x実数⇒t実数だから、
判別式D≧0
⇔a^2-124≧0
⇔(a+12)(a-12)≧0
⇔a≦-12,12≦a

ありゃ?答えが数(3)のと同じにならない!何故でしょう。わかったらお礼に書いてくれ。続きはそれから。ちなみに、この項目で、同値のまとめをやります。もちろん、s-wordさんの、本来の質問の答えも、ここに含まれるでしょう。あと、9つではなく、7つですみました。
ひょっとすると、stomachmanさんのとかぶるかも…。
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この回答へのお礼

KaitoTVGAMEKOZOUさんお久しぶりです。またきてくださってどうもありがとうございます。ゆっくり確認しながら進めてくださるので苦手な私にとってはすごくわかりやすくて助かります!じゃあさっそく考えた答えを書いてみます。

なぜ違うか、それはx^2=tとおくとのところでtの範囲を無視しているからであーる。x^2>0なのでt≧0なのであーる。
よって求める解は3t^2+at+12=0 がt≧0の範囲で実数解をもつことといいかえられるのであーる。(乗ってきたので最後まで書いちゃいますね。)

ここでグラフから求めることもできるけど解と係数の方が早いのでそちらにします。

判別式D≧0
⇔a^2-124≧0
⇔(a+12)(a-12)≧0
⇔a≦-12,12≦a・・・(1)

(2)の実数解をα,βとおくと条件から
α+β=- a/3
αβ=4
これが両方0または正になればいいから、
- a/3≧0
⇔a≦0・・・(2)
もとめる範囲は(1)かつ(2)よりa≦-12

それと、<私がよくやる解> をみてすごいと思いました。そんなやり方もあるんですね、始めてみました!ちなみにおわかりだと思いますが文系でも相加相乗を使えばその方法でも答えを出せますね。視覚的に図形を書いて求められる長所が消えてしまうから仰らなかったんだと思いますが。

お礼日時:2002/04/03 09:52

「2乗してもいいとき」って、何が「いい」のかがはっきりしていないんじゃありませんでしょうか。

KaitoTVGAMEKOZOUさんは一般論を詳しくやって下さってるみたいなので、stomachmanは、挙げていらっしゃる例が果たして「いい」のかどうかを検討してみましょう。

めんどくさいから
c=(α+β)
と書くことにしましょう。
X=-(1/2)c{c^2-1}・・・(1)
Y=3/4[c^2]+3/4・・・(2)
でまず、
(4/3)Y-1=c^2・・・(2)'
これは(2)と全く同じ意味です。一方、
X^2=(1/4)(c^2)({c^2-1}^2)・・・(1)'
はどうか。(1)が成り立つなら(1)'も確かに成り立ちます。が、(1)'が成り立つからと言って(1)は言えません。実際
X=(1/2)c{c^2-1}・・・(1)*
であっても(1)'は成り立ちますから、(1)'からは「(1)または(1)*である」としか言えない。(こんなことはお分かりですよね、きっと。)

で、(2)'を(1)'に代入したら
X^2=(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)・・・(3)
これはどういうことを意味しているか。「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」と言っているんです。しかし(1)*と(2)が共に成り立つのであっても(3)は成り立ちます。
 言い換えれば、(3)と(2)から(1)を導くことはできません。(3)と(2)からは「(1)または(1)*」という答しか出ない。それでもともかく「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」んですから、(3)は誤りではありません。確かにXとYが満たす関係を示してはいる。が、(1)と(2)を並べた表現よりも情報が失われています。はじめ「(1)と(2)である」と言えた物が、(3)の形では「(1)または(1)*、それと(2)である」としか言えなくなっちゃったからです。従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

 この事情をもっと詳しくチェックしてみましょう。まず(1)のことは忘れて、たとえばXをYで表そうとして(3)の両辺の平方根を取ると
X=±√[(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)]・・・(4)
ってことになります。±ってのは、Xが一通りには決まらないということに他なりません。
じゃあ(4)は何を言っているのか。それを調べるために(4)に再び(2)'を代入してみましょう。
X=±(1/2)√[(c^2){c^2-1}^2]
=±(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5)
となります。(5)は複号をばらしてみると
X = (1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.1) または
X = -(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.2)
という意味です。
・c≦-1 または 0≦c≦1 ならばc(c^2-1)≦0 であり、(5.1)は(1)と同じ、(5.2)は(1)*と同じ。
・-1≦c≦0 または 1≦c ならばc(c^2-1)≧0 であり、(5.1)は(1)*と同じ、(5.2)は(1)と同じ。

 本来の(1)とウソの(1)*とがややこしく混ざってしまっていますね。ま、そういうわけでして、結局
> 例);2乗してもいいとき
というのは、(3)式までで話をおしまいにしたからに過ぎません。
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この回答へのお礼

stomachmanさんこんにちは。お返事感謝します。ゆっくりと論を進めてくださるのでうんうんとうなずきながら読むことができました。

>従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

もしcが正の場合は、Xは負だから(3)の横に(x<0)と書けば良いんですよね。でもこの場合はcがそういった指定がないから(5)において(1)のXとおなじになるように帳尻をあわせて動けるということですよね。とんだ勘違だったらどうしよう・・・。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/04/03 09:51

5の追加


等式の両辺に、文字式を掛ける場合、
一般に、A=B⇒mA=mB だが、逆は必ずしも成り立たない。つまり、mA=mB⇒/A=B である。

同値を保つには、m≠0で、修正し、
A=B⇒mA=mB⇔mA=mB かつ m≠0

6.x^2+2x+m=0 …(1) と x^2+4x+3m=0 …(2) との共通根を求めよ。

共通根は2式を同時に満足するxの値である。だから、これをαとすると、
α^2+2α+m=0    (1)’
α^2+4α+3m=0   (2)’
(1)'-(2)’より、
α=-m    

上記の、この解法をした人は間違います。というのは、たとえば、共通根を持たない2つの方程式、
x^2+x+1=0 ,x^2-x-6=0  に、共通根をもたせてしまうからです。じゃあどうしたらよいか。

A=0かつB=0 ⇒ A-B=0  は正しい。しかし、逆は成り立ちません。
このように、一般に2つの等式(1)、(2)を加えたり、引いたりして得られた(3)の式は、(1)、(2)と同値ではなくなるから、共通根を求めるに当たって(3)を論じては駄目です。
では、どうすればよいか。
A=0かつB=0 ⇔ A-B=0 かつ A=0 とすればよいね。

よって、2つの方程式を加減するとき、一般に、
A=0かつB=0⇒A+B=0 は成り立つ。しかし、逆の A+B=0⇒/A=0かつB=0  は成り立たない。
しかし、A=0かつB=0⇔A+B=0かつA=0 とすれば成り立つ。例題の解はまかせます。

きょうは、ちょっと疲れているし、他にもやることがあるので、残りの3つの解説はやらないかも知れません。よって、消さないでね。
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2.同値を保つ方法


(1)⇒(2)、(2)⇒/(1) の変形では結果(2)をはじめの条件(1)に戻って吟味する。
(1)を満たすものはとり、満たさないものは捨てる。NO1の方も同じこといってます。

3.次の方程式を解け x+1=√(25-x^2)
多くの参考書では、(1)=(2)⇒(1)^2=(2)^2 しかし、逆は必ずしも成り立たないので、2の同値を保つ方法と同じように、最初の条件にもどって吟味すると書いてあるが、私はいきなりグラフを書いて求めます。

<解>
y=√(25-x^2)のグラフは、半径5の円の上側であり、y=x+1のグラフと、「明らかに」0<x<5の範囲の中のどこか一点のみで交わる。
よって、0<xより、両辺を二乗しても同値関係は保たれるので、
(x+1)^2=(25-x^2)
⇔2x^2+2x-24=0
⇔x^2+x-12=0
⇔(x+4)(x-3)=0
⇔x=-4,3
この2つの根の中で0<x<5を満たすのはx=3なので、答えは3である。

この解法の方が後戻りしなくていいし、視覚的なので楽です。

4.対数方程式は、真数>0の条件を頭に叩き込みましょう。それだけです。

5.同値が崩れる原因を探れ
1で分数方程式をやりましたが、同値を保たせる方法があります。それは、条件をつけて足せばよい。

{(1/(x-1)}-{2/(x+1)(x-1)}=1/3 
⇔3(x+1)-6=(x+1)(x-1) かつ「x≠-1,x≠1」

つまり、 「x≠-1,x≠1」の条件がないから、同値関係が崩れる。だったらその条件をつけてやれば、同値関係は保たれるではないかということです。


あとは、夜にやろう。
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1.どこで同値が崩れるか?


分数「方程式」 {(1/(x-1)}-{2/(x+1)(x-1)}=1/3 …(1)を解け!
(1)に3(x+1)(x-1)をかけると、
3(x+1)-6=(x+1)(x-1) …(2)
整理して、
x^2-3x-2=0
(x-1)(x-2)=0 …(3)
∴x-2=0 またはx-1=0 …(4)
x=2または1 …(5)

さて、同値関係がどうなっているか調べてみましょう。
(1)⇒(2)は成り立つ。しかし、(2)⇒(1)は成り立つかはわからない。というのは、(x+1)(x-1)≠0が保障されていないから、(2)⇒/(1)となる。(注;~が成り立たないという記号がないため、⇒/とした。)さらに、(2)⇔(3)⇔(4)⇔(5)は良い。
だから、x=2のみが、この問題の根である。

つまり、上の変形では分母を払う変形のとき、同値関係が崩れるので、
「まとめ 分数・無理・対数方程式などで、 
 (1)⇒(2)、(2)⇒/(1)で計算出来れば、余計な根が入ってくる
 (1)⇔(2)     で計算できれば、余計な根は入らない 」

これで、全体の9分の1の内容は終わった。これから昼食なので、後で残りの8/9やりましょう。

   
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同値の基本を解説しますが、かなり長くなるのでまだ消さないで下さい。

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この回答へのお礼

KaitoTVGAMEKOZOUさんこんにちは。9もパターンがあるんですね。今までまったく気にしないでいましたので、全然知りませんでした。興味深いお話の連続です。このスレッドはずっと置いておきますね。お暇なときに続けていただければ幸いです。

お礼日時:2002/03/30 00:21

二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから


取りうる数値の範囲を確認して下さい。

これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならokです。

ただし、工学系の計算では、とりあえず解を求めてしまってから
ありえない数値を解として採用しないという方法をとります。

複素関数でいちいち解の取りうる範囲なんか検証していられないので。
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この回答へのお礼

tntさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。ちょっと疑問に思ったところがあるのでもう一度お聞きしてもよろしいでしょうか。

>二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから 取りうる数値の範囲を確認して下さい。
これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならokです。

2乗するときに「正と負の両方になるようならダメ」となっていますがなぜだめなのか分かりません。逆に2乗すると正と負の両方の解をもつように変身してしまうから「正か負の一方のみの場合はダメで正と負の両方になるようならOK」だと思ったのですが・・・。どこが間違っているのでしょうか。よろしくお願いします。

お礼日時:2002/03/29 23:59

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Q2次不等式の解答についての質問です。

2次方程式 x²-2x+2=0 の答えは複素数範囲で「x=1±i」で、2次不等式 x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」のようですが、この不等式の答えとして、やはり複素数範囲で「x<1-i、1+i<x」というのは不適なのでしょうか?

Aベストアンサー

この話は結構深刻で、深刻な問題ほど学校は対応しない傾向にあり、悩みが後を引くことがあります。しかしあるときなんとなく考え違いしていたことに気が付いて、納得できることがあります。

>2次不等式 x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」のようですが、
xy平面においてy=x²-2x+2のグラフを書くとx軸と交わることがなくどこでも
  y>0
よって x²-2x+2>0の答えは「全ての実数」となるわけです。

だけど解の公式で求めたx=1±iが使えないじゃないかという疑問は尤もです。

しかしここで考えましょう。このxy平面でx=1±iはどこなんだと見まわすと、実は居場所がない。つまり別の世界の数字だということです。

そこでそもそも不等式とかもっと基本的な大小の概念は実数の世界のもので、虚数(複素数)の入り込む余地はないのです。この点をしっかり押さえておいてください。「虚数に大小はない。」

将来、横軸に実数、縦軸に虚数を取ったガウス平面というものを習うかもしれませんが、それは実数のみを扱うxy平面と矛盾するものではありません。

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

Q一次不等式の解の存在条件(整数解の個数)

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。

[問]
xについての連立不等式
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。

===============================
[模範解答]
「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。

【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不適
----
【0<aかつa-3<0の場合】
(イ)と(ロ)は次のようになり、不適
(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a
===============================

【a=3の場合】の説明について
どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

【0<aかつa-3<0の場合】の説明について
なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

よろしくお願いします。

模範解答の説明で理解できないところがあったので質問します。

[問]
xについての連立不等式
ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)
がある。
この連立不等式を満たす整数がちょうど3個となる整数aを求めよ。

===============================
[模範解答]
「a<0」、「0<aかつa-3<0」、「3<a」、「a=3」、「a=0」の五つの場合に分けて調べるのですが、
「0<aかつa-3<0」の場合と、「a=3」の場合の説明がどうしても分かりません。
※ 他三つの場合は省略。

【a=3の場合】
(イ)かつ(ロ)はx<0と同値で不...続きを読む

Aベストアンサー

>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

a=3と置くと

ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)

3x<3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)

3x<3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)

x<0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)

(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。

「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。

(イ)さえ成り立てば「連立する」のです。

(イ)は、最終的に

x<0

になっちゃってますから「(イ)かつ(ロ)」は「x<0と同じ」って事です。

>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

「x<0であるxは無限にある」ので「連立不等式を満たす整数がちょうど3個」という条件に合いません。

「条件に合わない」から「不適」と言っているのです。

「なぜ不適なのか」と言われたら「x<0であるxは無限にあって、3個だけじゃないから不適」なのです。

xが-1でも、-2でも、-3でも、-4でも、何でも成り立つでしょう?

>なぜここで導き出された二式から不適と判断できるのか。

【0<aかつa-3<0の場合】
って事は
【0<aかつa<3の場合】
です。

【0<aかつa<3の場合】
を満たすaは、1と2だけです。

aが1の場合

(イ): x<3(a-3)
(ロ): x≦a

(イ): x<3(1-3)
(ロ): x≦1

(イ): x<3×2
(ロ): x≦1

(イ): x<6
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。

aが2の場合

(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦a

(イ): x<3(2-3)
(ロ): x≦1

(イ): x<3×1
(ロ): x≦1

(イ): x<3
(ロ): x≦1

(ロ)が成り立てば、必ず(イ)が成り立ちます。

つまり(ロ)さえ成り立てば、(イ)は要りません。

これは「(イ)かつ(ロ)は、x≦1と同値」って言っているのと同じです。

さっきも「(イ)かつ(ロ)は、x<0と同値」で、「成り立つxが無限にある」ので「不適」になりましたよね?

それと同じで、「成り立つxが無限にある」ので「3個じゃないから不適」です。

これで「aが1の場合は不適、aが2の場合も不適」と判りました。

なので「ここで導き出された二式から不適と判断できる」のです。

出題者が欲しい正解は

「aが○○の時」

です。

aに○○を入れた時、成り立つxが無限個あったり、0個だったり、1個だったり、2個だったり、4個以上だったら駄目なんです。

aに○○を入れた時、成り立つxは、x=◎、x=△、x=□の3個しかない、って場合だけ「aが○○の時」ってのが正解になるのです。

>【a=3の場合】の説明について
>どのようにして「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」と導き出したか。
>「(イ)かつ(ロ)はx<0と同値」であると、なぜ不適なのか。

a=3と置くと

ax<3a(a-3) ---(イ)
(a-3)x≧a(a-3) ---(ロ)

3x<3×3(3-3) ---(イ)
(3-3)x≧3(3-3) ---(ロ)

3x<3×3×0 ---(イ)
0x≧3×0 ---(ロ)

x<0 ---(イ)
0x≧0 ---(ロ)

(ロ)は、xが何になっても成り立ちます。つまり「(イ)さえ成り立てば、(ロ)はどうでも良い」のです。

「(ロ)はどうでも良い」ってのは「(ロ)は無くても構わない」って事です。
...続きを読む

Qax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+

ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)と変形できることを示せ。

Aベストアンサー

因数定理を証明しろってことなのかな?

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。
この多項式が根 x=β を持つとき…

…と繰り返してゆけば、
n 次多項式は n 個の一次式で割り切れ、
最後の商は定数式になる。
(根の存在自体は代数学の基本定理によるが、
質問の例では解の存在が仮定されているから、
その点は気にしなくてよい。)

最後の商を何か未定係数で置いて
一次式の積を展開してみれば、
最高次の係数の比較から、それが a であると判る。

証明の流れを見れば解るように、
これは、α,β,γ の中に同じものがあっても、
それを重解とみなせば、成り立つ。

因数定理を証明しろってことなのかな?

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。...続きを読む

Q不等式

僕は数学の不等式系の問題や単元がものすごくキライで苦手です。
不等式が出てきたら一瞬にして集中力も切れ勉強する気がなくなります。
今、不等式の表す領域をチャートで勉強していたのですが全くわかりません。
それにやる気までなくなりました。
不等式の苦手意識を克服する方法はありませんか?
今高三理系で受験生です。

Aベストアンサー

苦手意識を作ってしまった事が諸悪の根源です。それを断ち切るには、最初に戻って一から勉強しなおすことです。数学Iで不等式を習いますから、教科書の問を順に解いていくことをお勧めします。不等式の扱いは他の分野に比べて特に難しいところはありません。復習して最初からやり直すことで何ら難しい分野ではないことが分かると思います。

 さて、不等式の表す領域ですが、これはがよくわからないのは不等式の難しさとは別のところにあると思います。特に不等式の表す領域におけるxとyの表す式の最大値最小値問題が難しいのは不等式が苦手なのとは別の次元にあります。

 数学の解答を読んで分からないのは、その解答が何をしているか気づかないからです。では、なぜ気付かないのかというと経験が少ないからです。チャートを勉強しているときに、解答を読んで分からなければ、むしろ自力で解いてみるといいです。人の解答を読むより、自分で解くほうがむしろ簡単です。(解答が読めない人の場合)指針など、解法の要点を理解したらあとは自分で解いてみたらどうでしょうか。

このアドバイスが参考になれば幸いです。

Qny^2=x^3+ax^2+bx+c上の点全体とy^2=x^3+anx

ny^2=x^3+ax^2+bx+c上の点全体とy^2=x^3+anx^2+bn^2x+cn^3上の点全体の間の1対1対応を与える簡潔な変数の1次変換を求めるという問題が解けなくて困っています。yをy/n^2に、xをx/nに置き換えよ、とヒントには書いてあるのですが…
解き方がわかる方はぜひ教えてください。

Aベストアンサー

>yをy/n^2に、xをx/nに置き換えよ、

 ここまで分かっているのですから、これを行列で表せばよいのではないですか。

(1/n 0)
(0 1/n^2)

Q数1 不等式

不等式がちっともわからないのでアドバイスお願いします。

※2乗は~で表させていただきます

xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
     x~2-ax-2a~2ー(2)  (aは定数)

1、不等式(1)を解いて下さい

これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。


2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

全然解らないです((汗

3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x-q)<0という不等式の答えの範囲は、
p<qという条件つきならば、p<x<q
が答えになりましたよね?

(☆)を見てみると、-aと2aの大小比較をして、
(小さいほう)<x<(大きいほう)
というのが答えになるのが分かると思います。

-aと2aはどちらが大きいのでしょうか?
2a<-aとすると、3a<0となるので、a<0となって0<a<1に矛盾します。
-a<2aとすると、0<3aとなって、これは0<a<1にあてはまりますから
-aのほうが2aより小さいです。
したがって、答えは

-a<x<2aとなります。

さらに、(1)(2)を同時に満たす、ということは

0≦x≦2
-a<x<2a・・・(★)
の2つを同時に満たしている、ということですね。
ここで、0<a<1ですから
(★)は-1<a<x<2a<2ということになりますから、0≦x≦2との共通部分は
0≦x<2a
ということになります。

>3、不等式(1)、(2)を同時に満たすxの整数値がちょうど2個存在するときaのとりうる値の範囲を求めてください

0≦x<2a
の中に、整数解が2個あるようにするには、
x=0,x=1が入ればいいので
1<2a
つまり(1/2)<a
0<a<1の条件と合わせれば、1/2 <a<1
ということになると思います。

skyline-gtr-32さん、こんにちは。

>xの不等式 x~2-2x≦0ー(1) 
1、不等式(1)を解いて下さい
これは 0≦X≦2でいいと思うんですが。

そうですね。skyline-gtr-32さんの答えどおりでいいです。

x^2-2x=x(x-2)≦0なので
0≦x≦2という答えの範囲になります。

>2、0<a<1のとき、不等式(2)を求めてください、また不等式(1)、(2)を同時に満たすxの値の範囲を求めてください

まず、(2)の不等式を因数分解します。

x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)<0・・・(☆)
なんですよね。
さて、
(x-p)(x...続きを読む

Qlim[x→∞]((α^(1/x)-1)β+1)^x = α^β

lim[x→∞]((α^(1/x)-1)β+1)^x = α^β

らしいのですが、どうしてなのですか?
ロピタルの定理を使おうとしたのですが、指数が2重にあってよくわかりません。

また、x→-∞やx→0としたら極限はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

対数をとって
x log {[α^(1/x)-1]β + 1} = x[α^(1/x)-1]β
として, [...] をもう 1回展開したらどうだろう. そこから log α が出てくればいいような気がする.

Q不等式の問題

息子と共に不等式を勉強しています。問題レベルはx-3 ≤ 4 程度です。
今息子の頭は初めての不等式でこんがらがってます。そこで回答付きの問題をネットにて探しています。
一次不等式の問題、何かいいサイトありますか?
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

あ~難しいですよね・・・

これなんかどうでしょう?

参考URL:http://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/Mathematics/renhutou.htm#1

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?


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