2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (8件)

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。

このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

お返事どうもありがとうございます。何度もお返事いただいてどうもありがとうございました!大変参考になりました。これからもこのスレッドを参照して勉強していこうと思います。さようなら。

お礼日時:2002/04/05 08:10

stomachmanさん、おひさしぶりです。



7.3x^4+ax^2+12=0  …(1)の根がすべて実数であるようにaの値の範囲を求めよ。

<私がよくやる解>
x=0は、(1)式の解ではない。そこで、(1)式を0<x^2で割ると、
3x^4+ax^2+12=0
⇔3x^2+a+12/x^2=0
⇔3x^2+12/x^2=-a
⇔-3x^2-12/x^2=a   …(2)

よって、左辺=g(x) とすると、問題は、曲線y=g(x)とy軸に平行な直線y=aが交点をもつように、aの値の範囲を求めよと言い換えられる。つまり、文字定数分離のやり方だ。

この解法は視覚的に、図形を書いて求められるので楽だ。ちなみに、答えはa≦-12である。
しかーし!この解法は数(3)入ってるので、文系には駄目だ。そこで、本題に入ります。

3x^4+ax^2+12=0 …(1)
x^2=tとおくと、
3t^2+at+12=0 …(2)
x実数⇒t実数だから、
判別式D≧0
⇔a^2-124≧0
⇔(a+12)(a-12)≧0
⇔a≦-12,12≦a

ありゃ?答えが数(3)のと同じにならない!何故でしょう。わかったらお礼に書いてくれ。続きはそれから。ちなみに、この項目で、同値のまとめをやります。もちろん、s-wordさんの、本来の質問の答えも、ここに含まれるでしょう。あと、9つではなく、7つですみました。
ひょっとすると、stomachmanさんのとかぶるかも…。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

KaitoTVGAMEKOZOUさんお久しぶりです。またきてくださってどうもありがとうございます。ゆっくり確認しながら進めてくださるので苦手な私にとってはすごくわかりやすくて助かります!じゃあさっそく考えた答えを書いてみます。

なぜ違うか、それはx^2=tとおくとのところでtの範囲を無視しているからであーる。x^2>0なのでt≧0なのであーる。
よって求める解は3t^2+at+12=0 がt≧0の範囲で実数解をもつことといいかえられるのであーる。(乗ってきたので最後まで書いちゃいますね。)

ここでグラフから求めることもできるけど解と係数の方が早いのでそちらにします。

判別式D≧0
⇔a^2-124≧0
⇔(a+12)(a-12)≧0
⇔a≦-12,12≦a・・・(1)

(2)の実数解をα,βとおくと条件から
α+β=- a/3
αβ=4
これが両方0または正になればいいから、
- a/3≧0
⇔a≦0・・・(2)
もとめる範囲は(1)かつ(2)よりa≦-12

それと、<私がよくやる解> をみてすごいと思いました。そんなやり方もあるんですね、始めてみました!ちなみにおわかりだと思いますが文系でも相加相乗を使えばその方法でも答えを出せますね。視覚的に図形を書いて求められる長所が消えてしまうから仰らなかったんだと思いますが。

お礼日時:2002/04/03 09:52

「2乗してもいいとき」って、何が「いい」のかがはっきりしていないんじゃありませんでしょうか。

KaitoTVGAMEKOZOUさんは一般論を詳しくやって下さってるみたいなので、stomachmanは、挙げていらっしゃる例が果たして「いい」のかどうかを検討してみましょう。

めんどくさいから
c=(α+β)
と書くことにしましょう。
X=-(1/2)c{c^2-1}・・・(1)
Y=3/4[c^2]+3/4・・・(2)
でまず、
(4/3)Y-1=c^2・・・(2)'
これは(2)と全く同じ意味です。一方、
X^2=(1/4)(c^2)({c^2-1}^2)・・・(1)'
はどうか。(1)が成り立つなら(1)'も確かに成り立ちます。が、(1)'が成り立つからと言って(1)は言えません。実際
X=(1/2)c{c^2-1}・・・(1)*
であっても(1)'は成り立ちますから、(1)'からは「(1)または(1)*である」としか言えない。(こんなことはお分かりですよね、きっと。)

で、(2)'を(1)'に代入したら
X^2=(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)・・・(3)
これはどういうことを意味しているか。「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」と言っているんです。しかし(1)*と(2)が共に成り立つのであっても(3)は成り立ちます。
 言い換えれば、(3)と(2)から(1)を導くことはできません。(3)と(2)からは「(1)または(1)*」という答しか出ない。それでもともかく「(1)と(2)が共に成り立つのなら(3)も成り立つ」んですから、(3)は誤りではありません。確かにXとYが満たす関係を示してはいる。が、(1)と(2)を並べた表現よりも情報が失われています。はじめ「(1)と(2)である」と言えた物が、(3)の形では「(1)または(1)*、それと(2)である」としか言えなくなっちゃったからです。従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

 この事情をもっと詳しくチェックしてみましょう。まず(1)のことは忘れて、たとえばXをYで表そうとして(3)の両辺の平方根を取ると
X=±√[(1/4)(4/3)Y-1)({4/3)Y-1-1}^2)]・・・(4)
ってことになります。±ってのは、Xが一通りには決まらないということに他なりません。
じゃあ(4)は何を言っているのか。それを調べるために(4)に再び(2)'を代入してみましょう。
X=±(1/2)√[(c^2){c^2-1}^2]
=±(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5)
となります。(5)は複号をばらしてみると
X = (1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.1) または
X = -(1/2) |c(c^2-1)|・・・(5.2)
という意味です。
・c≦-1 または 0≦c≦1 ならばc(c^2-1)≦0 であり、(5.1)は(1)と同じ、(5.2)は(1)*と同じ。
・-1≦c≦0 または 1≦c ならばc(c^2-1)≧0 であり、(5.1)は(1)*と同じ、(5.2)は(1)と同じ。

 本来の(1)とウソの(1)*とがややこしく混ざってしまっていますね。ま、そういうわけでして、結局
> 例);2乗してもいいとき
というのは、(3)式までで話をおしまいにしたからに過ぎません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

stomachmanさんこんにちは。お返事感謝します。ゆっくりと論を進めてくださるのでうんうんとうなずきながら読むことができました。

>従って、初めと同じことを言いたければ、(3)だけでは不足で、「(3)と(1)が共に成り立つ」と言わなくちゃいけません。(3)と(1)が共に成り立つのなら、間違いなく(1)と(2)が共に成り立つ事が言えて、(1)*は成り立たない。

もしcが正の場合は、Xは負だから(3)の横に(x<0)と書けば良いんですよね。でもこの場合はcがそういった指定がないから(5)において(1)のXとおなじになるように帳尻をあわせて動けるということですよね。とんだ勘違だったらどうしよう・・・。どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/04/03 09:51

5の追加


等式の両辺に、文字式を掛ける場合、
一般に、A=B⇒mA=mB だが、逆は必ずしも成り立たない。つまり、mA=mB⇒/A=B である。

同値を保つには、m≠0で、修正し、
A=B⇒mA=mB⇔mA=mB かつ m≠0

6.x^2+2x+m=0 …(1) と x^2+4x+3m=0 …(2) との共通根を求めよ。

共通根は2式を同時に満足するxの値である。だから、これをαとすると、
α^2+2α+m=0    (1)’
α^2+4α+3m=0   (2)’
(1)'-(2)’より、
α=-m    

上記の、この解法をした人は間違います。というのは、たとえば、共通根を持たない2つの方程式、
x^2+x+1=0 ,x^2-x-6=0  に、共通根をもたせてしまうからです。じゃあどうしたらよいか。

A=0かつB=0 ⇒ A-B=0  は正しい。しかし、逆は成り立ちません。
このように、一般に2つの等式(1)、(2)を加えたり、引いたりして得られた(3)の式は、(1)、(2)と同値ではなくなるから、共通根を求めるに当たって(3)を論じては駄目です。
では、どうすればよいか。
A=0かつB=0 ⇔ A-B=0 かつ A=0 とすればよいね。

よって、2つの方程式を加減するとき、一般に、
A=0かつB=0⇒A+B=0 は成り立つ。しかし、逆の A+B=0⇒/A=0かつB=0  は成り立たない。
しかし、A=0かつB=0⇔A+B=0かつA=0 とすれば成り立つ。例題の解はまかせます。

きょうは、ちょっと疲れているし、他にもやることがあるので、残りの3つの解説はやらないかも知れません。よって、消さないでね。
    • good
    • 0

2.同値を保つ方法


(1)⇒(2)、(2)⇒/(1) の変形では結果(2)をはじめの条件(1)に戻って吟味する。
(1)を満たすものはとり、満たさないものは捨てる。NO1の方も同じこといってます。

3.次の方程式を解け x+1=√(25-x^2)
多くの参考書では、(1)=(2)⇒(1)^2=(2)^2 しかし、逆は必ずしも成り立たないので、2の同値を保つ方法と同じように、最初の条件にもどって吟味すると書いてあるが、私はいきなりグラフを書いて求めます。

<解>
y=√(25-x^2)のグラフは、半径5の円の上側であり、y=x+1のグラフと、「明らかに」0<x<5の範囲の中のどこか一点のみで交わる。
よって、0<xより、両辺を二乗しても同値関係は保たれるので、
(x+1)^2=(25-x^2)
⇔2x^2+2x-24=0
⇔x^2+x-12=0
⇔(x+4)(x-3)=0
⇔x=-4,3
この2つの根の中で0<x<5を満たすのはx=3なので、答えは3である。

この解法の方が後戻りしなくていいし、視覚的なので楽です。

4.対数方程式は、真数>0の条件を頭に叩き込みましょう。それだけです。

5.同値が崩れる原因を探れ
1で分数方程式をやりましたが、同値を保たせる方法があります。それは、条件をつけて足せばよい。

{(1/(x-1)}-{2/(x+1)(x-1)}=1/3 
⇔3(x+1)-6=(x+1)(x-1) かつ「x≠-1,x≠1」

つまり、 「x≠-1,x≠1」の条件がないから、同値関係が崩れる。だったらその条件をつけてやれば、同値関係は保たれるではないかということです。


あとは、夜にやろう。
    • good
    • 0

1.どこで同値が崩れるか?


分数「方程式」 {(1/(x-1)}-{2/(x+1)(x-1)}=1/3 …(1)を解け!
(1)に3(x+1)(x-1)をかけると、
3(x+1)-6=(x+1)(x-1) …(2)
整理して、
x^2-3x-2=0
(x-1)(x-2)=0 …(3)
∴x-2=0 またはx-1=0 …(4)
x=2または1 …(5)

さて、同値関係がどうなっているか調べてみましょう。
(1)⇒(2)は成り立つ。しかし、(2)⇒(1)は成り立つかはわからない。というのは、(x+1)(x-1)≠0が保障されていないから、(2)⇒/(1)となる。(注;~が成り立たないという記号がないため、⇒/とした。)さらに、(2)⇔(3)⇔(4)⇔(5)は良い。
だから、x=2のみが、この問題の根である。

つまり、上の変形では分母を払う変形のとき、同値関係が崩れるので、
「まとめ 分数・無理・対数方程式などで、 
 (1)⇒(2)、(2)⇒/(1)で計算出来れば、余計な根が入ってくる
 (1)⇔(2)     で計算できれば、余計な根は入らない 」

これで、全体の9分の1の内容は終わった。これから昼食なので、後で残りの8/9やりましょう。

   
    • good
    • 0

同値の基本を解説しますが、かなり長くなるのでまだ消さないで下さい。

    • good
    • 0
この回答へのお礼

KaitoTVGAMEKOZOUさんこんにちは。9もパターンがあるんですね。今までまったく気にしないでいましたので、全然知りませんでした。興味深いお話の連続です。このスレッドはずっと置いておきますね。お暇なときに続けていただければ幸いです。

お礼日時:2002/03/30 00:21

二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから


取りうる数値の範囲を確認して下さい。

これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならokです。

ただし、工学系の計算では、とりあえず解を求めてしまってから
ありえない数値を解として採用しないという方法をとります。

複素関数でいちいち解の取りうる範囲なんか検証していられないので。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

tntさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。ちょっと疑問に思ったところがあるのでもう一度お聞きしてもよろしいでしょうか。

>二乗する時、両辺を確認して、どちらか片方でいいですから 取りうる数値の範囲を確認して下さい。
これが正と負の両方になるようならダメ、常に正ならokです。

2乗するときに「正と負の両方になるようならダメ」となっていますがなぜだめなのか分かりません。逆に2乗すると正と負の両方の解をもつように変身してしまうから「正か負の一方のみの場合はダメで正と負の両方になるようならOK」だと思ったのですが・・・。どこが間違っているのでしょうか。よろしくお願いします。

お礼日時:2002/03/29 23:59

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q両辺ともに0以上なので、2乗して同値である

| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)
(※mは実数です)

ある問題の模範解答で、上記のような記述があったのですが、
「両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから」
という説明は必要なのでしょうか??
つまり、(2)の式が欲しいだけなのに、(1)⇔(2)を宣言する必要はあるのか、(1)⇒(2)だけで良いのではないのか、という疑問です。
実際、


(ある式が成り立つならば、その式の両辺の正負がどうであれ、その式を両辺2乗した式も成り立つので)
| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺を2乗して
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)


これではダメなのでしょうか?


また、もうひとつ、以上とは関係ない質問なのですが、
| 1-2m | = √m^2+1
この式は両辺がともに0以上ですが、
「両辺がともに0以上」の「ともに」が良く分かりません。
片方の辺が0以上ならば、「=」で結ばれたもう片方の辺も0以上なのでは?と思います。
あるいは、例えば、左辺が正で、右辺が負であるというような式もあるのですか?

| 1-2m | = √m^2+1 ‐(1)
両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから
1-4m+4m^2 = m^2+1 ‐(2)
(※mは実数です)

ある問題の模範解答で、上記のような記述があったのですが、
「両辺ともに0以上なので、2乗しても同値であるから」
という説明は必要なのでしょうか??
つまり、(2)の式が欲しいだけなのに、(1)⇔(2)を宣言する必要はあるのか、(1)⇒(2)だけで良いのではないのか、という疑問です。
実際、


(ある式が成り立つならば、その式の両辺の正負がどうであれ、その式を両辺2乗した式...続きを読む

Aベストアンサー

|x+1|=2xが成り立つなら、その両辺をそれぞれ2乗した(x+1)^2=4x^2もなりたちます。これを解いたx=1、-1/3は当然(x+1)^2=4x^2では成り立ちますが、元の|x+1|=2xでは必ずしも成り立ちません。両辺を2乗して解を求めても、元の式の解にはならない場合があるということです。つまり、両辺を2乗して解を求めればそれが元の式の解となるには何か条件が必要ということです。

|x+1|=2xが成り立つなら、右辺ももちろん0または正ですが、右辺と左辺をばらばらに考えた場合、左辺は常に0または正ですが、右辺は負にもなり得ます。
これに対し、| 1-2m | = √m^2+1は右辺も左辺もそれぞれをばらばらに考えても常に0または正です。
これが「ともに」の意味です。

a^2=b^2に「aもbもともに0以上」あるいは「aもbもともに0以下」という条件があればa=bとなります。この条件がないとa=-bのときも出てきてしまいます。
元の問題では、「aもbもともに0以上」という条件が満たされているため、a^2=b^2を解けば、その解ではa=bが成り立つわけです。

|x+1|=2xが成り立つなら、その両辺をそれぞれ2乗した(x+1)^2=4x^2もなりたちます。これを解いたx=1、-1/3は当然(x+1)^2=4x^2では成り立ちますが、元の|x+1|=2xでは必ずしも成り立ちません。両辺を2乗して解を求めても、元の式の解にはならない場合があるということです。つまり、両辺を2乗して解を求めればそれが元の式の解となるには何か条件が必要ということです。

|x+1|=2xが成り立つなら、右辺ももちろん0または正ですが、右辺と左辺をばらばらに考えた場合、左辺は常に0または正ですが、右辺は負にもなり...続きを読む

Q数学の両辺2乗と√について教えてください

「√○=√△」→「○=△」
「○=△」→「√○=√△」

「√○=△」→「○=△^2」
「○=△^2」→「√○=△」
これが成り立つのは○と△がどんな条件のときですか?

Aベストアンサー

中学校で習いますね √(a^2)=aは間違いだと あれですよ 高校行くと√(a^2)=|a|で記号が増えただけで意味わからんところです
「√○=√△」→「○=△」「○=△」→「√○=√△」「√○=△」→「○=△^2」は無条件で成立
「○=△^2」→「√○=△」はだめ 
理由は簡単 平方して等しい式は元の式の符号がわからなくなるので元に戻して2乗を外すときは注意です4=(-2)^2 しかし√4=-2ではありませんね
条件は最後の「√○=△」からでます √○とかくと ルートの中は0以上に実数、さらに√○は0以上の実数と高校で習いますから△は0以上の実数をつけましょう  
基本的に等式の両辺には同じ操作をしてもいいんですがルートをつけるときはルートの定義や符号問題で注意です

Q両辺が正のとき,両辺を平方できる???

問題を解いていて、当たり前のように両辺に平方をすることがあったのですが、参考書をよく見るとそれをするときはその前書きや捕捉場所に「両辺が負でないから」などと書いてあります。
両辺を平方するとき同値性が崩れる場合があることは分かるのですが、なぜ、両辺が負でないときに同値性が崩れない(なぜ、p⇒qだけでなくq⇒pが成り立つ)のですか?

つまり、

A > 0, B > 0ならば
A = B ⇔ A² = B²

の証明がうまくできないのでご教示ください。

Aベストアンサー

=>)
明らか

<=)
A^2=B^2より
(A^2)-(B^2)=0
∴(A-B)(A+B)=0
A+B>0なのでA-B=0が必要。
よってA=B

※A^2はAの2乗を表します

Q平方根を取る  とはどういう意味でしょうか

マセマ出版社の「初めから始める数学I」という参考書を使って勉強しているのですが
その中で

(a+b)+2√ab= (√a+√b)^2

この両辺は正で、√a+√b > 0 より
この両辺の正の平方根をとると

√(a+b)+2√ab = √a+√b
↑この√は全体にかかっています

となる


と書いてあります
両辺の正の平方根を取る、というのはどういう意味なのでしょうか?
よろしくお願いします

Aベストアンサー

2乗する前の正の数を求める。
累乗の逆ですね。

Q連立方程式を代入法で解くか、同値変形で解くか

二つの連立方程式
2x-y-1=0
x+y-2=0
を解くにあたって、
上の式は
3x-3=0
x+y-2=0
と同値である。
と言われたのですが、
私には同値変形と代入法の違いが分かりませんでしたし、
また同値変形したときに、"3x-3=0かつx+y-2=0"のように2式を足したもの(または引いたもの)かつ元の式いずれかになるのかも分かりません。
どなたか説明して頂ければ幸いです。

Aベストアンサー

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
2つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種です。

元々2本の式しかありませんから、加減法や代入法で出てきた式を使って3本以上の式を「作成」しても、そのうち独立なものは2本しかありません。
たとえば、
2x-y-1=0
x+y-2=0
3x-3=0
という3本の式のうち、1本は使わなくても解けてしまいます。
(つまり、1本捨てた残りの2本が、元の方程式と「同値」です。

また、
たとえば、2番目の式と、それを2倍にしたものだけで
x+y-2=0
2x+2y-4=0
という連立方程式を「作成」しても、答えは出ません。

まとめると、
同値変形とは、
「互いに独立なn本の一次方程式からなるn元連立一次方程式を、
 そのn本の式のどれかを使って、
 ほかの、互いに独立なn本の方程式からなる連立方程式に
 変形すること。」


ただし、
「余分な式」であっても、方程式を解く計算途中で用いることは、いっこうに構いません。

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
2つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
2番目の式をxについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種で...続きを読む

Q同値性の崩壊

定円x^2+y^2=r^2の周上を点P(x,y)が動くとき,座標が(y^2-x^2xy)で表される点Qはどんな曲線を動くか。

x^2+y^2=r^2から,P(x,y)とするとx=rcosΘ,y=rsinΘと表される。Q(X,Y)とすると
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
よってX^2+Y^2=r^4(cos^22Θ+sin^22Θ)=r^4
ゆえに,点Qは円x^2+y^2=(r^2)^2の周上を動く。

教えてほしいところ
この問題を解き方が違和感があります。
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
を両辺正でなければ2乗してしまうと同値性崩れますよね?
また、2乗したものをそのまま足す場合、同値性は崩れる心配はないんですか??
この問題を上のように解いて、同値性が崩れる心配がないもしくは同値性が保たれるのは自明である理由を教えてください。

Aベストアンサー

円x^2+y^2=r^2を円A,円x^2+y^2=(r^2)^2を円Bとする。
点P(x,y)が円Aの円周上をぐるぐる回って、それに応じて点Qが決まる。
その回転が左(右)回りならx=rcosΘ,y=rsinΘのΘが増加(減少)するということなので、Θは実数全体を動く。
点Q(X,Y)のX=-r^2cos2Θ,Y=r^2sin2ΘのΘはPの座標を決めるΘによって決まるΘなので,こちらも実数全体を動く。
このことから、ある点T(x,y)についてx=-r^2cos2Θ,y=r^2sin2Θなら点Tは点Qであるといえる。

質問の同値性を示すには、円Bの円周上の任意の点は点Qである、ということが証明できればよい。
流れだけいうと、円Bの円周上の点x=r^2cosΘ,y=r^2sinΘ,からx,yを上の形に変形できればよい。変形については回答3が参考になる。

Q絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
3.よって、(|x|+|y|)^2=x^2+2|xy|+y^2

◆(|x|-|y|)^2=|x|^2-2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.-2|x||y|はマイナス×プラス×プラスなので結果マイナスにならないといけない。
そして、xとyは正負不明なので-2|x||y|を結果としてマイナスにするためには絶対値を
はずしきっちゃうとまずいので、-2|xy|となる。
3.よって、(|x|-|y|)^2=x^2-2|xy|+y^2

◆|x+y|^2=|(x+y)^2|=|x^2+2xy+y^2|
1.xy≧0のとき、(a+b)^2=(-a-b)^2なので、普通に解いて、x^2+2xy+y^2
2.xy<0のとき、・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

◆|x-y|^2=|(x-y)^2|=|x^2-2xy+y^2|
1.・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

奇妙な質問ですがよろしくお願いします。

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2=|x|^2+2|x||y|+|y|^2
1.|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
2.2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
3.よって...続きを読む

Aベストアンサー

場合分けの仕方がよくないですね。
単純に、「絶対値の中身が0以上か、0未満か」で分ければいいです。

(1)|x+y|^2について
0≦x+yのとき:
 |x+y|=x+yなので、|x+y|^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
x+y<0のとき:
 |x+y|=-(x+y)なので、|x+y|^2={-(x+y)}^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(2)|x-y|^2について
0≦x-yのとき:
 |x-y|=x-yなので、|x-y|^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
x-y<0のとき:
 |x-y|=-(x-y)なので、|x-y|^2={-(x-y)}^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2

Q不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?

DUO3.0 No404です
The vague rumor proved to be false. Nevertheless, some skepticism lingers on.
上記の二つ目の文章の主語は【some skepticism】ですが動詞に三単現のsが付いています。不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?
よろしくお願いいたします。(他に不可算名詞が主語になっている例文があったら紹介してください。)

Aベストアンサー

こんにちは。4/22のご質問ではお返事を有難うございました。

1.ご質問文の主語skepticismは「無神論」「懐疑論」という主義をあらわす、抽象名詞です。

2.抽象名詞は不可算名詞になります。

3.不可算名詞は数えられません。つまり、単数と同じ扱いになるのです。

4.不可算名詞が主語になる場合、三人称単数の扱いになります。従って、ご質問文の動詞には、三単現のsが付いているのです。

5.Someは「いくつかの」「いくらかの」「ある程度」といった意味を持ち、可算名詞、不可算名詞、両方を修飾することができます。

6.不可算名詞が主語になっている例文:

The sun is necessary for flowers.
「太陽は花に必要だ」
There was much snow.
「沢山雪が降った」

などがあります。
以上ご参考までに。

Q河合塾と駿台の違い、互いのメリットデメリットについて

はじめまして、私は現在高校三年生(今春卒業予定)のものです。
今年は前期で失敗したら浪人する予定す。
現在私の手元には駿台予備校仙台校と河合塾仙台校から
入学の認定が届いています。ですが、正直なところ、
両校のデメリットメリットを調べて比べてみても決めかねています。
皆さんでしたらどちらがいいと思いますか?もしよければ教えてください

ちなみに両校のメリット、デメリットは下記のようでした。
・駿台
○座席指定制
○実績がいい
(ただし実績は個人の問題だと思うのであまり加味しないことにしました……)
○駿台は理系に秀でている(?)
(昔の話だ、という人も多数いて、判断しかねます)
×クラスの人数が多く机が狭い
(クラスの人数はわかりませんが、机が狭いのは試験の時に窮屈だと痛感しました)

・河合塾
○駿台と比較すると少人数、それから個別サポートが充実
○実際に授業を受けたことがあるので、安心
×ただその体験授業のときに、講師の方の説明がよくわかりませんでした。
講師の方の質は実際どれほどのものなのか、
よほど酷い先生に当たったのか、が今一わかりません
×座席指定
×河合なら文系(?)(ただこれも昔の話だという人もいて……)

私は前期は東北大学の工学部志望です。
駿台からは「ハイレベル東北大理系」「スーパー東北大理系集中」
河合塾からは「ハイレベル東北大英語強化/数学強化/理科強化/特別強化」
の受講認定がきています。
(他にも認定は来ていますが関係なさそうなのは省きました)
私立は経済上の理由から行く予定はありません。
また、同じく経済上の理由から浪人も一年のみです。
一年の浪人なので、授業料に関しても両親からは了解を取っています。
安価なほうがいいのですが、、授業料よりも志望校への
適不適を重視したいと思っています。

これを踏まえて、国公立工学部受験には駿台、河合塾
どちらの、どのコースが適しているでしょうか、教えてください
よろしくお願いします

はじめまして、私は現在高校三年生(今春卒業予定)のものです。
今年は前期で失敗したら浪人する予定す。
現在私の手元には駿台予備校仙台校と河合塾仙台校から
入学の認定が届いています。ですが、正直なところ、
両校のデメリットメリットを調べて比べてみても決めかねています。
皆さんでしたらどちらがいいと思いますか?もしよければ教えてください

ちなみに両校のメリット、デメリットは下記のようでした。
・駿台
○座席指定制
○実績がいい
(ただし実績は個人の問題だと思うのであまり加味し...続きを読む

Aベストアンサー

私は東京で通っていたので、仙台のことは分かりませんので、以下記述することは、あくまでも東京での噂によるものです。
確かに、「文系の河合塾」とよく聞きます。
ただ理系は駿台よりも代ゼミと聞きます(いまは、理系も文系も代ゼミになってきているらしいのですが)。
代ゼミは、考えていないようなので、駿台と河合について書きます。
案内にも書いてあると思いますが、年間授業料には1年間の模試代も含まれています。
三大予備校の中で最も平均的に良問と言われいるのが、河合塾の模試です。
さらに、三大予備校の模試の中で、判定が厳しすぎず、甘すぎないのも河合塾と言われています。
駿台は問題も難しく、判定が厳しすぎると言われています(ちなみに、代ゼミは問題が簡単で、判定も甘すぎる)。
模試は出来るだけ多く受けた方が良いので、三大予備校の模試を出来るだけ多く受けるべきだと思いますが、少なくとも、所属している予備校の模試は受けることになるので、模試の観点からでは河合をお薦めます。
授業で使われているテキスト問題ですが、河合は東大の国語の入試問題をドンピシャ(東大対策講座の国語で問題内容も引用文章も)で当てた実績もあり、また、大学入試の問題を請け負っている数が、最も多いらしいので、河合のテキストで使われている問題は、入試対策としては良い参考書になると思います(テキストにはオリジナルの問題もあるので)。
ただ、駿台は難関大学を目指している人たちが多いので、難関大学である東北大学を受けるつもりなら、そういった意味では、駿台は良い環境の予備校だと思います。
模試も難関大学を受ける人の多くが受けているため、比較的難しく作っていると言うことらしいです。
説明のへたくそな先生は、河合にも駿台にもいます。
説明が分からない場合は、他の先生に聞くという手もあります。
私は、授業では解答を得るためだけに行き、実際の質問はお気に入りの先生に夜遅くまで聞きに行った経験が何度もあります。
ただし、その場合は、失礼にないように担当の先生が不在の時に、聞きに行くようにした方が良いですよ。
まだ、1ヶ月あるので、しっかりと考えて予備校選びはしてください。
ただ、大学に受かるか受からないかはどこの予備校に行ったかではなく、1年間どのくらい勉強したかです。

私は東京で通っていたので、仙台のことは分かりませんので、以下記述することは、あくまでも東京での噂によるものです。
確かに、「文系の河合塾」とよく聞きます。
ただ理系は駿台よりも代ゼミと聞きます(いまは、理系も文系も代ゼミになってきているらしいのですが)。
代ゼミは、考えていないようなので、駿台と河合について書きます。
案内にも書いてあると思いますが、年間授業料には1年間の模試代も含まれています。
三大予備校の中で最も平均的に良問と言われいるのが、河合塾の模試です。
さらに、...続きを読む

Q連立方程式の同値性について

連立方程式の同値性について
f(x,y)=0...(1)
g(x,y)=0...(2)
(1)と(2)から、h(x,y)=0 ..(3)ができたとします。
「(1)かつ(2)」は「(3)かつ(1)」であるための必要十分条件といえるか。
基本的なことですが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

それは、「一般にはいえない」ですね。

>(1)と(2)から、h(x,y)=0 ..(3)ができたとします。
 の 「から・・・できる」の部分の操作を、両辺を加える、0でない定数倍をする
 などと、同値変形に限定すれば同値といえるとは思いますが・・・。


a)x=1
b)y=0
の2つの式から
c)x^2+y=1
ができますが、
a&b と b&c は同値でないですよね。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング