素数

aを3より大きい素数とする。
(a＾2)を２４で割った余りはいくつかという問題で

5＾2=24+1
7＾2=24*2+1
11＾2=24*5+1
から求める余りは１になりましたがこのとき方はシンプル過ぎで駄目のような気がします。
教えてください。

No.5 回答者： FUURINKAASAN 回答日時： 2006/12/11 01:07

＃１さんの

＞ｐ－１、p＋１のうちどちらかは２の倍数、どちらかは４の倍数、
＞p－１、p＋１のどちらかは３の倍数となることを証明してください。

「ｐ－１、p＋１はどちらも２の倍数である。」
「p－１、p＋１のどちらかは３の倍数である。」

この二つを示せばいいです。

ヒント
(p-1),p,(p+1)は連続する整数、かつ、pは素数、、、、、、かつ、、、、、

この回答への補足

<aを6で割った余りは1か5である
よって，a=6m+1，または，6m+5と表せるについて考えようと思うのですが。
（注意：6m+1，6m-1とすると計算が簡単になる）．

どうしてaを6で割るのですか？
そして、その時の余りが1か5と分かるのですか？

補足日時：2006/12/12 16:49

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2006/12/25 15:20

No.4 回答者： rtz 回答日時： 2006/12/10 21:46

3より大きく24より小さい素数は5、7、11、13、17、19、23だが、

5^2＝24+1、7^2＝24*2+1、11^2＝24*5+1、13^2＝24*7+1、
17^2＝24*12+1、19^2＝24*15+1、23^2＝24*22+1より
3より大きく24より小さい素数の二乗は全て24で割って1余る。
また、1^2＝1より1の二乗も24で割って1余る。

aを素数としたとき、aはもちろん24の倍数ではない。
そこでa＝24k＋t（kは整数、tは1<=t<=23である自然数）であるとする。

t=2p（pは1<=p<=11である自然数）とすると、
a＝24t+2p＝2(12t+p)となりaが素数でなくなるため、
tは2の倍数ではない。

t=3q（qは1<=q<=7である自然数）とすると、
a＝24t+3q＝3(8t+q)となりaが素数でなくなるため、
tは3の倍数ではない。

以上より、tは1、5、7、11、13、17、19、23のいずれか。

a^2＝(24k+t)^2
＝24(24k^2+2kt)+t^2
よってa^2を24で割った余りは、t^2を24で割った余りと等しい。
1^2＝24*0+1、5^2＝24+1、7^2＝24*2+1、11^2＝24*5+1、
13^2＝24*7+1、17^2＝24*12+1、19^2＝24*15+1、23^2＝24*22+1より
t^2を24で割った余りは常に1であるから、a^2を24で割った余りも常に1。

この回答への補足

<aを6で割った余りは1か5である
よって，a=6m+1，または，6m+5と表せるについて考えようと思うのですが。
（注意：6m+1，6m-1とすると計算が簡単になる）．

どうしてaを6で割るのですか？
そして、その時の余りが1か5と分かるのですか？

補足日時：2006/12/11 21:18

No.3 回答者： adinat 回答日時： 2006/12/10 21:27

奇数は4n+1か4n+3とかけます。

二乗すると16n^2+8n+1か16n^2+24n+9ととなります。いずれにせよ、8で割って1余ります。

また3の倍数でない自然数は3k+1か3k+2とかけて、二乗すれば3で割って1余ることがわかります。

よって二つあわせれば結論を得ます。ちなみに他の方もおっしゃっているように、あなたの回答はシンプル過ぎるというのではなくて、すべての素数について示したことになっていないから、証明になっていないのです。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/12/10 21:23

具体的な数でいくつ計算しても

それは証明にはなりません．

この問題だとこんな感じでしょうか

3より大きい素数aを6で割ったあまりを考える
aは素数なので，割り切れることはない．
また，余りが，2，3，4になることはない．
なぜならば，余り2，4になればaは偶数となり，
3になればaは3の倍数となるからである．
したがって，aを6で割った余りは1か5である
よって，a=6m+1，または，6m+5と表せる
（注意：6m+1，6m-1とすると計算が簡単になる）．

このとき
a^2 = 36m^2+12m+1 = 12m(3m+1)+1 ・・・(1)
または
a^2 = 36m^2+60m+25 = 12m(3m+5) + 24 + 1 ・・・(2)

(1)の場合を考える
m(3m+1)が偶数であることを示す．
mが偶数であれば，m(3m+1)は偶数．
mが奇数のとき，m=2k-1とおける
このとき 3m+1=3(2k-1)+1=6k-2 なので偶数．
以上より，m(3m+1)は偶数なので，
(1)は 24の倍数+1 となり，24で割った余りは1

(2)の場合を考える
同様にして，
m(3m+5)が偶数であることを示せばよい．
mが偶数ならば m(3m+5)は偶数．
mが奇数ならば m=2k-1 とおいて
3m+5=3(2k-1)+5=6k+2なので偶数．よってm(3m+5)は偶数
以上より，m(3m+5)は偶数なので，
(2)は 24の倍数+1 となり，24で割った余りは1

以上のことより
3以上の素数aに対して，a^2 を24で割った余りは 1

==========
別に6でなくても解けると思いますが
24なので4か6をベースにするとよさそうだというのと
二乗があるので，6にすると，36と12がでてきそうで
楽そうに見えたから，6を選択しただけです．
また，6は約数が多いので余りのパターンも
すくなそうだという読みもあります．

この回答への補足

<aを6で割った余りは1か5である
よって，a=6m+1，または，6m+5と表せる
（注意：6m+1，6m-1とすると計算が簡単になる）．

についてなのですが、どうしてaを6で割るのですか？
そして、その時の余りが1か5と分かるのですか？

補足日時：2006/12/11 17:53

No.1 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/12/10 21:19

シンプルすぎてダメなのではなく、一般性がなくてダメです。

まず質問者さんがなさったように５，７，１１で計算して、
１あまると予想を立てます。
ｐ＾２－１が２４で割り切れることをすべての３より大きい素数に
対して成り立つことを示せばいいのです。
ｐ＾２－１＝（ｐ－１）（ｐ＋１）
として
ｐ－１、p＋１のうちどちらかは２の倍数、
どちらかは４の倍数、
p－１、p＋１のどちらかは３の倍数となることを証明してください。
すると（p－１）（p＋１）が２４で割り切れることが分かります。