二階微分方程式の問題

y"+4y=2xsin2x 解：Asin2x+Bcos2x-1/4x^2cos2x+1/8xsin2x
の問題なのですが、
補助方程式y"+4y=0の一般解は特性方程式から、
Asin2x+Bcos2xとわかるのですが。
特殊解の-1/4x^2cos2x+1/8xsin2x
の求め方がわかりません。
どなたか教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/01 23:33

この問題で最大の難関は特解の推定なので、概略の説明。

カンニング本は下記ページでした。
　http://power.ee.sophia.ac.jp/~miyatake/lecture/m …
最後のページにある「ラプラス変換表」の中に、
　f(t) : (t^n)*(e^at)
　F(s) : n!/{(s-a)^(n+1)}
とあるのがそれです。(tをxに置き換えて見てください)
-------------------------------
もとの方程式の右辺は、
　f(x)=2x*e^(i2x)=2x*(cos 2x+i*sin2x).........(E0)
の虚部であることを頭に入れた上で、
　y"+4y=f(x)　　　　　........................(E1)
とする。両辺をラプラス変換すると
　(s^2+4)Y(s)=(s+2i)(s-2i)Y(s)=2/(s-2i)^2
　Y(s)=2/{(s+2i)*(s-2i)^3}
になる。
特解に対応するのは、左辺を部分分数に分解してときの
　1/(s-2i)^3
　1/(s-2i)^2
に対応する項。おのおのラプラス逆変換すると、
　A*x^2*e^(i2x)
　B*x*e^(i2x)
の形になる。
-------------------------------

>y"+4y=2xexp(2ix).....(0)
> ............
>なぜ(0)式のようにexp(ix)を使った式をおいて、その虚部の部分だけが答えと同じ（答えにする？）になるのか
>疑問に思います。

上に書いた(E1)の左辺に特解
　y=A*x^2*e^(i2x)+B*x*e^(i2x)
を入れると(E0)になるわけですから、
虚部 A*x^2*e^(i2x)+B*x*e^(i2x) だけを入れれば、(E0)の虚部 2x*sin2x になるはず。
.....という理屈でした。

No.5 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/02 07:22

>これは問題が解けたことになるのでしょうか。

どうもしっくりきません。

駄目押しの蛇足を.... 。

微分演算は線型性を保存する。

(1) y=v+iw と実部v, 虚部w に分けた場合、y"=v"+iw"

(2) y"+y=f の特解が f=g+ih ならば、
　y"+y=f,　つまり　(v"+v)+i(w"+w)=g+ih
が成立。両辺の実部を等置して
　v"+v=g,　w"+w=h

というわけでした。

この回答へのお礼

返事が遅れてしまい申し訳ありません。
私の頭では理解するのに時間がかかりまして・・・。
とても丁寧な回答ありがとうございました。
ラプラス変換は勉強中なので、
少し飲み込むのに時間がかかってしまいましたが、
とても丁寧な回答のおかげで理解することができました。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/05 21:01

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/02/27 22:58

勘定まちがいがありました。

下記に訂正。

(2) Y"+Y=x*exp(ix) となるように{A,B}を算定。
　A=-i/2
　B=-A/i=1/2

特解は、Y=(-i/2)*x^2*exp(ix)+(1/2)*x*exp(ix)
---------------------------------------------
特解 Y=(-i/2)*x^2*exp(ix)+(1/2)*x*exp(ix) の虚部
　-(1/2)*x~2*cos(x)+(1/2)*x*sin(x)
が例題の右辺 x*exp(ix) の虚部 x*sin(x) に対応する特解です。

この回答へのお礼

昨日中と書いたのに、返事が遅れてしまい申し訳ありません。

わからない部分もありますが、以下の通りに考えてみました。
みにくい部分もあるかと思いますがご了承願います。
.
y"+4y=2xexp(2ix).....(0)
.
として得解を、
.
y=A*x^2*exp(2ix)+B*x*exp(2ix)
と推測します。
.
y'=2A*x*exp(2ix)+2iA*x^2*exp(2ix)+B*exp(2ix)+2iB*x*exp(2ix)
=2iA*x^2*exp(2ix)+2(A+Bi)*x*exp(2ix)+B*exp(2ix)....(1)
.
y"=4iA*x*exp(2ix)-4A*x^2*exp(2ix)+2(A+Bi)*exp(2ix)+4i(A+Bi)*x*exp(2ix)+2iBexp(2ix)
=-4A*x^2*exp(2ix)+(8iA-B)*x*exp(2ix)+2(A+2Bi)*exp(2ix)....(2)
.
y"+y=8iA*x*exp(2ix)+2(A+2Bi)*exp(2ix)......(3)
.
(0)と(3)から係数比較をしてA=-i/4 A=-2Bi B=1/8.....(4)
特解は、
.
y=-i/4x^2*exp(2ix)+1/8x*e(2ix)......(5)
.
(5)の解の虚部の
-i/4*x^2*cos2x+i/8i*sin2x
をiで割ったものが問題の回答と同じになりました。
これは問題が解けたことになるのでしょうか。
どうもしっくりきません。
.
.
なぜ(0)式のようにexp(ix)を使った式をおいて、
その虚部の部分だけが答えと同じ（答えにする？）になるのか
疑問に思います。この問題特有のとき方（考え方）なのでしょうか。
もし、
何度も何度も質問されるのは、煩わしいと思いますし、
178tallさんのご都合もあると思いますので、
回答は無理にとはいいません。その時はこの問題はこのようなものだと納得します。

お礼日時：2007/03/01 21:54

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/02/27 17:55

>>特解は、Y=(-i/2)*x^2*exp(ix)+i*x*exp(ix)

>ここまでは理解することができました。

そこまでいけば、ホーム・ストレッチに入ってます。

特解 Y=(-i/2)*x^2*exp(ix)+i*x*exp(ix) の虚部
　-(1/2)*x~2*cos(x)+x*cos(x)
が例題の右辺 x*exp(ix) の虚部 x*sin(x) に対応する特解です。

もとの問題(y"+4y=2xsin2x)と比べると係数の違いだけなので、特解も係数が違うだけ。
どこをどう変えるのか、思案してみてください。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/02/26 20:15

これは難問...というより「煩問(煩雑な問題)」です。

気休めですけど、少しでも見やすくするため、
　y"+y=x*exp(ix)
をやってみます。(右辺の虚部が x*sinx。iは虚数単位)

(1) ラプラス変換表をのぞき見してカンニング。
　特解は、Y=A*x^2*exp(ix)+B*x*exp(ix) の形になるらしい。

(2) Y"+Y=x*exp(ix) となるように{A,B}を算定。
　A=-i/2
　B=-2A=i

特解は、Y=(-i/2)*x^2*exp(ix)+i*x*exp(ix)

フォローしてみてください。
・上の勘定、あってますか?
・原題に適用できませんか?

この回答へのお礼

返事が遅れてしまい申し訳ありません。
回答ありがとうございます。
丁寧な回答なのに申し訳ないのですが、
問題に適用するところまでは、私の頭ではできませんでした。
＞特解は、Y=(-i/2)*x^2*exp(ix)+i*x*exp(ix)
ここまでは理解することができました。

お礼日時：2007/02/27 16:31