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- 回答日時:
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が正則
⇔f(z)は次のコーシー・リーマンの微分方程式(Cauchy-
Riemann differential equation)を満たす。
∂u/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=-∂v/∂x …(1)
ですから、
・)f(z)=z^2の場合
z=x+iyを代入すると、
f(z)=x^2-y^2+2ixy
となり、 u=x^2-y^2,v=2xy から、
∂u/∂x=2x,∂u/∂y=-2y,∂v/∂x=2y,∂v/∂y=2x
となり、(1)を満たすので、f(z)=z^2は全てのx,yに対して
正則となります。
・)f(z)=|z^2|=|z|^2の場合
z=x+iyを代入すると、
f(z)=x^2+y^2
となって、 u=x^2+y^2,v=0 から、
∂u/∂x=2x,∂u/∂y=2y,∂v/∂x=0,∂v/∂y=0
となりますが、全てのx,yに対して(1)式を満たしていないので正則ではありません。
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