振り子の運動周期について

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質問者：mhptaka
質問日時：2007/05/12 21:03
回答数：2件

[振り子の質量、振幅および長さが、振動周期にどのように影響を与えるか]←この関係の式がどうしても思い出せません。
お願いします、どなたか教えてください。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： sanori
回答日時：2007/05/12 21:42

質量と振幅は、基本的に関係ないです。

ただし、振幅が大きくなると、↓この問題が発生します。
http://oshiete.homes.jp/qa2867959.html
（私の回答が２つありますので）

振り子の運動は、中央からのずれの距離（変位）と、中央へ戻ろうとする復元力（ただし方向は変位の逆）とが比例しますので、

復元力　＝　－定数×変位

という方程式になります。

振れ角をθと置けば、

復元力　＝　－ｍｇsinθ
（θと復元力は方向が逆なので、マイナスが付く）

振幅が大きくない場合は、
θ＝sinθ　（ただし、θの単位はラジアン）
という近似が出来ますので、
復元力　＝　－ｍｇθ
とします。
復元力は、変位を時刻で２度微分したものなので、
ｍ・ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｍｇθ

θは、ひもの長さを使って
θ　＝　ｘ／Ｌ　なので、
ｍ・ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｍｇｘ／Ｌ
ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｇｘ／Ｌ
ここで、ｍ（質量）が消えましたよね？

あとは、微分方程式を解くのですが、
微分方程式の知識がなければ、ｘは時刻ｔの三角関数で表せることが既知とします。
すなわち、
ｘ＝Ａsin（２π・ｔ／Ｔ）　　（Ｔは周期、Ａは振幅）
と置きます。

これを上記の
ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｇｘ／Ｌ
に代入して、

Ａsin（２π・ｔ／Ｔ）の２回微分　＝　－ｇ・Ａsin（２π・ｔ／Ｔ）／Ｌ

－Ａ・（２π／Ｔ）^2・sin（省略）＝　－ｇ・Ａsin（省略）／Ｌ

（２π／Ｔ）^2　＝　ｇ／Ｌ
ここで振幅が消えましたよね？

２π／Ｔ　＝　√（ｇ／Ｌ）

Ｔ　＝　２π／√（ｇ／Ｌ）