A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
定義から三角関数の加法定理を導き出して、sinとcosの関係からtanの周期性を導き出せばOKです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …
z=x+iyとすると、
sin(z)
=[exp{i(x+iy)}-exp{-i(x+iy)}]/(2i)
={cos(x)+i・sin(x)}exp(-y)/(2i)-{cos(x)-i・sin(x)}exp(y)/(2i)
=sin(x){exp(y)+exp(-y)}/2+i・cos(x){exp(y)-exp(y)}/2
=sin(x)・cosh(y)+i・cos(x)・sinh(y)
同様にして、
cos(z)=cos(x)・cosh(y)-i・sin(x)・sinh(y)
z'=z+πのとき
sin(z+π)
=sin(x+π)・cosh(y)+i・cos(x+π)・sinh(y)
=-sin(x)・cosh(y)-i・cos(x)・sinh(y)
=-sin(z)
cos(z+π)
=cos(x+π)・cosh(y)-i・sin(x+π)・sinh(y)
=-cos(x)・cosh(y)+i・sin(x)・sinh(y)
=-cos(z)
∴tan(z+π)=sin(z+π)/cos(z+π)
={-sin(z+π)}/{-cos(z+π)}
=tan(z)
No.3
- 回答日時:
三角関数は半径1の円周上の点から作られます.
x座標が cos,
y座標が sin,
そして,原点とその点を通る直線の傾きが tan です.
直線の傾きなんだから180度ちがっても同じです.
No.1
- 回答日時:
tanz = tan(z+π) であれば、tanzの周期がπということになります。
tan(z+π) = sin(z+π)/cos(z+π)
ここで、
sin(z+π) = -sinz
cos(z+π) = -cosz
よって、
tan(z+π) = (-sinz)/(-cosz) = sinz/cosz = tanz
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