三角形の内接円

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質問者：kou94
質問日時：2007/08/14 23:30
回答数：4件

三角形ABCの外接円の半径は1である。
∠A = θ , ∠C = 3θ　　　( 0 ＜ θ ＜ π / 4 )　である。
BC = a, CA = b, AB = c とするとき、次の問いに答えよ。
(1) a,b,cをθを用いて表せ。
(2)三角形ABCの内接円の半径をｒとするとき、lim r / θ^2を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　θ→+0

(1) a = 2sinθ , b = 2sin3θ , c = 2sin4θ
(2)
1/2 ・( a + b + c )r = S
1/2 ・( a + b + c )r = 1/2 ・bcsinθ
r = bcsinθ / ( a + b + c ) = 2sin3θ × sin4θ ×sinθ / ( sinθ + sin3θ + sin4θ )　・・・・(1)
よって　2sin3θsin4θ×sinθ・・・(2)
r / θ^2 = ( sin θ + sin3θ + sin4θ ) / θ^2・・・(3)
以下省略

これの、(1)から(2)への変形、(2)から(3)への変形がわかりません。教えてください・。

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回答 (4件)

No.1

回答者： Tacosan
回答日時：2007/08/15 00:52

変形どころか, (2) の式で何を言いたいのかわからないんですが....

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。たぶん、ノートを取り間違えたんだと思います。すいません。

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お礼日時：2007/08/16 14:46

No.2

回答者： kkkk2222
回答日時：2007/08/15 02:35

r=2(sin3θ)(sin4θ)(sinθ)/(sinθ+sin3θ+sin4θ)　・・・・(1)

1/r=(sinθ+sin3θ+sin4θ)/2(sin3θ)(sin4θ)(sinθ)

(θ^2)/r
=(θ^2)(sinθ+sin3θ+sin4θ)/(2(sin3θ)(sin4θ)(sinθ))
=(θ^2)/(2(sin3θ)(sin4θ))
　　+(θ^2)/(2(sin4θ)(sinθ))
　　　+(θ^2))/(2(sin3θ)(sinθ))
=(3θ)(4θ)/(2*12*(sin3θ)(sin4θ))
　　+(θ)(4θ)/(2*4*(sin4θ)(sinθ))
　　　+(3θ)(θ)/(2*3*(sin3θ)(sinθ))=R

r/(θ^2)=1/R=・・・
lim・・・

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

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お礼日時：2007/08/16 14:46

No.3ベストアンサー

回答者： aquarius_hiro
回答日時：2007/08/15 04:31

こんにちは。

(1) a=2sinθ、b=2sin4θ、c=2sin3θ だと思います。

これは求まったのですよね？

> 1/2 ・( a + b + c )r = S

三角形の面積ですね。内接円の中心から頂点ABCに線を引くと3つの三角形になります。面積の合計は、

S = (1/2)ar + (1/2)br + (1/2)cr = 1/2 ・( a + b + c )r

ですね。

> 1/2 ・( a + b + c )r = 1/2 ・bcsinθ

S を別の考え方で求めると (1/2)bc sinθ になりますよね。
底辺を c として、b sinθ が高さになるからです。

それを上の S = ... の式と等しいとおいたわけです。

> r = bcsinθ / ( a + b + c ) = 2sin3θ × sin4θ ×sinθ / ( sinθ + sin3θ + sin4θ )　・・・・(1)

これは代入しただけですね。

> よって　2sin3θsin4θ×sinθ・・・(2)

これが何に等しいのでしょうか？
書いてないのでわかりませんが、

(1)がわかったので、r/θ^2 の極限を求めるのは簡単です。
θが小さいとき、

sinθ=θ、sin3θ=3θ、sin4θ=4θ

と置いてよいので、(1)式は、

r = 2・3θ・4θ・θ / ( θ + 3θ + 4θ )　= 24θ^2/8 = 3θ^2

故に、lim_{θ→0} r/θ^2 = 3 が得られます。

> r / θ^2 = ( sin θ + sin3θ + sin4θ ) / θ^2・・・(3)

これは成立ちません。