No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
> 今、x≦yとします。このとき、関数列{f_n}がf_n→f(n→∞)と収束したとします。
> このとき、f_n(x)≦f_n(y)ならば、f(x)≦f(y)は一般に成り立つのでしょうか?
一般に成立ちますよ。
> 極限操作で不等号が成立しなくなる場合ってありますか?
不等号が≦のように等号付きのものであれば、成立しないことはありえません。
x < y に対して、
f_n(x) < f_n(y)
のように等号が入らないときには、極限は
f(x) ≦ f(y)
のように等号が入ります。
[証明]
要するに何かというと、f_n(x) と f_n(y) が f_n(x)≦f_n(y) を守りながら、それぞれ f(x) と f(y) にいくらでも近づいていくのに、大小関係が逆転することはないということですが、それを数学的にきちんと証明するには、次のようにします。
関数列の収束は、
任意のεに対して、十分大きな N を選べば n > N なるすべての n に対して、
| f_n(x) - f(x) | < ε
| f_n(y) - f(y) | < ε
が成立つと書くことができますね。
すなわち、
f_n(x) - ε < f(x) < f_n(x) + ε … (1)
f_n(y) - ε < f(y) < f_n(y) + ε … (2)
いま、x ≦ y に対して、f_n(x) ≦ f_n(y) がすべての n に対して成立しているのに、f(x) ≦ f(y) が成立たなかったとします。
つまり、f(x) > f(y) となる x≦y が存在したとします。
その差を a > 0 とおきますと、f(x) = f(y) + a ですが、
ε=a/3 ととることができるので、(1), (2) より、
f_n(x) + a/3 > f(x) = f(y) + a > (f_n(y) - a/3) + a = f_n(y) + 2a/3
f_n(x) > f_n(y) + a/3 > f_n(y)
となってしまい矛盾です。
(証明おわり)
x<y に対して、f_n(x) < f_n(y) のときに、極限が f(x) = f(y) になることがあっても良いのは、この証明で a=0 とすれば明らかで、そのときには ε=a/3 にとることができませんので、矛盾を導くことができません。
簡単には、f_n(x) = x/n という例でよいでしょうね。
x < y では、必ず f_n(x) = x/n < y/n = f_n(y) が成立ちますが、極限 n→∞ では、f(x) = 0 = f(y) になります。
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