![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
> 今、x≦yとします。このとき、関数列{f_n}がf_n→f(n→∞)と収束したとします。
> このとき、f_n(x)≦f_n(y)ならば、f(x)≦f(y)は一般に成り立つのでしょうか?
一般に成立ちますよ。
> 極限操作で不等号が成立しなくなる場合ってありますか?
不等号が≦のように等号付きのものであれば、成立しないことはありえません。
x < y に対して、
f_n(x) < f_n(y)
のように等号が入らないときには、極限は
f(x) ≦ f(y)
のように等号が入ります。
[証明]
要するに何かというと、f_n(x) と f_n(y) が f_n(x)≦f_n(y) を守りながら、それぞれ f(x) と f(y) にいくらでも近づいていくのに、大小関係が逆転することはないということですが、それを数学的にきちんと証明するには、次のようにします。
関数列の収束は、
任意のεに対して、十分大きな N を選べば n > N なるすべての n に対して、
| f_n(x) - f(x) | < ε
| f_n(y) - f(y) | < ε
が成立つと書くことができますね。
すなわち、
f_n(x) - ε < f(x) < f_n(x) + ε … (1)
f_n(y) - ε < f(y) < f_n(y) + ε … (2)
いま、x ≦ y に対して、f_n(x) ≦ f_n(y) がすべての n に対して成立しているのに、f(x) ≦ f(y) が成立たなかったとします。
つまり、f(x) > f(y) となる x≦y が存在したとします。
その差を a > 0 とおきますと、f(x) = f(y) + a ですが、
ε=a/3 ととることができるので、(1), (2) より、
f_n(x) + a/3 > f(x) = f(y) + a > (f_n(y) - a/3) + a = f_n(y) + 2a/3
f_n(x) > f_n(y) + a/3 > f_n(y)
となってしまい矛盾です。
(証明おわり)
x<y に対して、f_n(x) < f_n(y) のときに、極限が f(x) = f(y) になることがあっても良いのは、この証明で a=0 とすれば明らかで、そのときには ε=a/3 にとることができませんので、矛盾を導くことができません。
簡単には、f_n(x) = x/n という例でよいでしょうね。
x < y では、必ず f_n(x) = x/n < y/n = f_n(y) が成立ちますが、極限 n→∞ では、f(x) = 0 = f(y) になります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。 問題集には、次の関数の〔 〕内の 5 2022/05/19 10:43
- 高校 極限公式 2 2022/12/08 02:17
- 数学 数Ⅲ、無限等比数列の問題についてです。 極限を調べる問題で、 場合分けのうちの |r|>1 の時、 3 2022/11/12 10:19
- 数学 有限な値を取るための条件って一般化できるのでしょうか 6 2022/08/25 15:45
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 積分と不等式 2 2023/01/26 21:52
- 数学 代数学 環 1 2022/10/12 17:29
- 数学 離散数学(情報数学)の写像の問題です。 急ぎです、わかる頭のいい方答えだけでも教えていただきたいです 3 2022/04/13 15:04
- 数学 写真の数学の質問です。 (2)の答えにある不等号についてなのですが、9/4は接点なので交わるために等 1 2023/03/29 00:48
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
f(x) g(x) とは?
-
マクローリン展開の問題です n=...
-
関数 f(x) = e^(2x) につい...
-
数学についてです。 任意の3次...
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
数学II 積分
-
数学 定積分の問題です。 関数f...
-
"交わる"と"接する"の定義
-
基底ベクトル(正規直交基底、非...
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
数学の記法について。 Wikipedi...
-
微分可能
-
eのx乗はeのx乗のまんまなのに...
-
テイラーの定理の式で、n=1...
-
2013 慶応(らしいです)
-
次の等式を満たす関数f(x)を求...
-
極限、不連続
-
微分の公式の導き方
-
y=x^2-3x+1/x-2の漸近線の求め...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
大学の問題です。
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
イプシロンデルタ論法の定義に...
-
いえる??
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
-
大学数学 広義積分について
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
「次の関数が全ての点で微分可...
-
関数方程式f(x)=f(2x)の解き方...
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
極限、不連続
-
n次導関数
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
微分可能ならば連続の証明につ...
-
微分について
-
極限を調べるときプラス極限マ...
-
大学への数学(東京出版)に書...
-
数学についてです。 任意の3次...
おすすめ情報