２次系の伝達要素G(s)をG(jω)にする問題．

制御の試験に向けて勉強していたのですが，以下の
問題でつまってしまいました．誰か教えてくださる
方がいましたらよろしくお願いします．


伝達要素
G(s) = ωn^2 / (s^2 + 2 ξ ωn s + ωn^2)
の周波数伝達関数は
G(jω) = ωn^2 / (-ω^2 + 2 j ξ ωn ω + ωn^2)
となるのまでは分かるのですが，ゲインMを求めるに
M = |G(j ω)| = ωn^2 / √(ωn^2 - ω^2)^2 +(2 ξ ωn ω)^2
　　　　　　　　　　　　(分母全てに√がかかっています)


となるのがどうしても分かりません．
答えだけが書いてあり，途中計算がないためこれ以上はなんとも
できなくなってしまったので，教えていただける方，よろしく
お願いします．

No.1 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/08/03 22:48

|G(jω)|＝|ωn^2| / |(-ω^2 + 2 j ξ ωn ω + ωn^2)|

　　　　＝ωn^2 / |-ω^2 + 2 j ξ ωn ω + ωn^2|　　
で，jが虚数単位より
分母の|()|の中の実部が(ωn^2 -ω^2)，虚部が（2 ξ ωn ω）で
|分母|＝√{(実部)^2+(虚部)^2}
　　　＝√{(ωn^2 -ω^2)^2+(2 ξ ωn ω)^2}
ではないでしょうか．

この回答への補足

ありがとうございます．
jが虚数単位なため，虚部が（2 ξ ωn ω）
というのは理解できたのですが，なぜここ
では j が抜けてしまっているのでしょうか．
それから，このような場合は，
分母|＝√{(実部)^2+(虚部)^2} として問題を
解いていったらいいのでしょうか．

補足日時：2002/08/03 23:11

No.2 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/08/03 23:47

複素数z=x+yj (x,yは実数，ｊは虚数単位)とかくと, これは座標平面の点(x,y)と1対1に対応させられることはご存知と思います.

実部は Re(z)=x, 虚部はIm(z)=y (ｊは含みません)で,
絶対値 |z| は,点0(原点)と点zとの距離のことなので,
点(x,y)と原点の距離と同じで
|z|=√(x^2+y^2)
です．

なお，a,b,c,dは実数として，一般には
[良い方法]
|(a+bj)/(c+dj)|=|a+bj|/|c+dj|=√(a^2+b^2)/√(c^2+d^2)
とやる．
[そうでない方法]
一度分母を有理化して
(a+bj)/(c+dj)=(a+bj)(c-dj)/(c+dj)(c-dj)={(ac+bd)+(bc-ad)j}/(c^2+d^2)
から全体の絶対値をとって．．．これは絶対値を求めるときは愚かなことが分かります．でも，例えば，全体の実部(あるいは虚部)を求める必要があるときは分母の有理化が要ることになります．

一般には最初のように，全体の絶対値＝｜分子｜／｜分母｜
＝√(a^2+b^2)/√(c^2+d^2)　[または　√{(a^2+b^2)/(c^2+d^2)}　でも同じ]
のようになります．
今の問題の場合，分子が0以上の実数だったので，√は分母しか残らなかったわけです．

No.3 回答者： tak2006 回答日時： 2002/08/06 01:42

一般にA,Bをある実数とすると、

G(jω)＝k(a+jb)=ka+jkb=A＋jBと言う形で表現できます（No.2の方の有理化参照)。実数部がAで虚数部がBとなりますね。
次に、これに対するグラフを考えてみましょう。
x軸に実数部のAを、y軸に虚数部のBをとってできる座標(A,B)をプロットしてみてください。
原点Ｏから、点(A,B)に向かうベクトルがG(jω)を表しています。
ベクトルは方向と大きさで表されます。方向はx軸とベクトルとの成す角度となり、大きさは、ベクトルの長さ|G(jω)|で表されます。
プロットしたグラフから分かると思いますが、ベクトルG(jω)とA,Bとで直角三角形ができますよね？
|G(jω)|が斜辺となる直角三角形なので三平方の定理より、|G(jω)|^2=A^2+B^2となり、ルートをとれば、|G(jω)|=√(A^2+B^2)となるわけです。
ちなみに、ベクトルG(jω)の角度∠Gは直角三角形の図を見れば、tan(∠G)＝B/Aとなるので、∠G＝アークタンジェント(B/A)となります。