『L・DK』上白石萌音&杉野遥亮インタビュー!

 正の定数 a に対して 5・2^(-x) + 2^(x+3) = 2a を考えたとき、

(1)この方程式が、異なる2つの解をもつような、定数aの値の範囲を求めよ。
(2)この方程式がただ1つの解をもつときの定数aの値を求めよ。また、そのときの解xを求めよ。

 という問題なのですが・・・。

 2^x = t と置き換えて方程式をaイコールの形に直してみたり、両辺に対数をとってみたり、
いろいろ考えてはみたのですが、何をどうしていいのかさっぱり分かりません。

 数学は苦手なので、どうか易しい解説をしていただけないでしょうか。

 よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

>> 正の定数 a。


>> 5・2^(-x) + 2^(x+3) = 2a

<・>=<*>

(1)
>> 2^x = t >0

   5(1/t)+8t-2a=0
   5+8(t^2)-2at=0
   8(t^2)-2at+5=0

  t >0より、tは2つの正の解。
  形から見て、判別式だけで充分。

   (a^2)-40>0
    a<-2√10, 2√10<a
a>0

   解は、2√10<a

(2)
重解をもてばよいので、判別式がゼロ。
   (a^2)-40=0、a>0 より、
 a=2√10

この時tは、
   8(t^2)-4√10t+5=0
 ((2√2)^2)(t^2)-2*(2√2)*√5*t+((√5)^2)=0
 ( (2√2)t-√5 )^2=0
     t=√5/2√2=√10/4

または、普通に解の公式で、
     t=4√10/16=√10/4

2^x = t だから、
  2^x = √10/4
   2を底として、両辺の対数をとると、
   x=log[2](√10/4)
    =log[2](√10)-log[2]4
    =(1/2)log[2]10-2

または、log[2]10も変形して、
   x=(1/2)log[2]2+(1/2)log[2]5-2
    =(1/2)+(1/2)log[2]5-2
    =(-3/2)+(1/2)log[2]5
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この回答へのお礼

 大変丁寧なご回答、ありがとうございます。

 計算してみたら、答えが合いました!

 回答者様のおかげで理解することができ、とても嬉しいです。

 本当に、ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/04 17:12

> 2^x = t と置き換えて方程式をaイコールの形に直してみたり・・・


うーん、単にちょっと混乱しちゃっただけでは?

2^x = t と置き換えれば、
5/t + 8t = 2a
t>0 だから両辺をt倍してよいので、
8t^2 - 2at + 5 = 0
このtの2次方程式が t>0 の範囲で
(1)異なる2つの実数解
(2)ただ一つの実数解
を持つようにaを定めれば良いのでしょう。
その実数解から、x=log(2)t

f(t) = 8t^2-2at+5とおくと、t→0 で f(t)>0、放物線y=f(t)の軸は t=a/8 > 0 なので、方程式 f(t)=0 の t>0 での実数解の数は単純に判別式で判断して良いですね。
あとは解を求めて x=log(2)t を求めるだけです。

または、

2^x = t と置き換えて
5/t + 8t = 2a
左辺 y = 5/t + 8tとおいてグラフを書いてみましょう。
yの増減を調べると、t→0でy→∞、0<t<(√10)/4 でyは減少、t = (√10)/4でyは極小(極小値は y = 4√10 )、(√10)/4<tでyは増加、t→∞でy→∞
ですから、
2a > 4√10 (a>2√10) のとき 5/t + 8t = 2a はt>0の範囲で2つの異なる実数解
2a = 4√10 (a=2√10) のとき 5/t + 8t = 2a はt>0の範囲で一つの実数解 t = (√10)/4、
を持つことが分かります。

先の解き方の方が楽ですが、後ろの解き方の方が問題の様子は分かり良いかもしれませんね。
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この回答へのお礼

>うーん、単にちょっと混乱しちゃっただけでは?

 すみません。自分でも、バカだったな・・・と反省しています。

 丁寧なご回答、ありがとうございます。

 実際に計算してみたのですが、答えが合ってほっとしています。

 ありがとうございました!

お礼日時:2007/11/04 17:15

5・2^(-x)+2^(x+3)=2a


2^x=t と置いて, 5・1/t+2^3・t=2a
両辺をt倍して, 5+8t^2=2at
移項して, 8t^2-2at+5=0
これで,判別式を使いましょう。
そうすれば答えは出てくると思います。

(2)も同様です。判別式を使います。
判別式で,aの値を求めて,式に代入して二次方程式の問題にします。
あとは因数分解してtの値を出して,
さらに, 2^x=t の式から x の値を求めればできます。
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この回答へのお礼

 ご回答、ありがとうございます。

 なんだか一目見ただけで全てが見えてしまっているかのようで、

回答者様は本当に素敵だと思いました。

 今朝、判別式を使おうとしたら、間違って解の公式を使ってしまったりしていました。

 何だか頭がおかしくなっていたようです。

 冷静に計算したら答えが合いました。

 本当に、ありがとうございました!

お礼日時:2007/11/04 17:21

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Q数学「指数関数」の問題で分りません。助けてください

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(2)4^x+4^(-x)=3のとき、2^x+2^(-x)、8^x+8^(-x)の値を求めてください。(途中式もお願いします。)

(3)方程式3^(2x)-k・3^x+k^2-2k-1/4=0を満たす実数解xがただ一つ存在するような、定数kの満たすべき条件を求めてください。ただし、k≧0とします。 (途中式もお願いします。)

ちなみに答えは、
(1)x=2、y=0
(2)2^x+2^(-x)=√5、8^x+8^(-x)=2√5
(3)0≦k≦(2+√5)/2、k=(4+√19)/3

Aベストアンサー

(1)2^x-2^y=3・・・(1)
 2^(x+y)=4・・・(2)
 (2)式より、
 2^(x+y)=2^2
 指数部分は等しいから、
 x+y=2
 y=2-xを(1)式に代入
 2^x-2(2-x)=3
 2^x-2^2*2^(-x)=3
 両辺に2^xを掛けると
 2^2x-4=3*2^x
 2^2x-3*2^x-4=0
 (2^x+1)(2^x-4)=0(わかりにくかったら2^x=Aと置いてA^2-3A-4を因数分解)
 2^x=-1,4
 2^x>0より2^x=4=2^2
 よってx=2,y=2-x=2-2=0

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 2^2x+2^(-2x)=3
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 (2^x+2^(-x))^2=5
 2^x+2^(-x)=±√5
 ここで2^x+2^(-x)>0であるから
 2^x+2^(-x)=√5

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(3)方程式3^(2x)-k・3^x+k^2-2k-1/4=0
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 この条件を満たすのは、
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               A=3^xよりxの値は求まらないので、A>0のときに
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    4k^2-8k-1<0
    (2-√5)/2≦k≦(2+√5)/2
    題意よりk≧0なので、0≦k≦(2+√5)/2
 (ii)y=f(A)がA軸上のA>0の領域でA軸上でたった一つの接点をもつ。
    判別式D/4=k^2-4(k^2-2k-1/4)=0
    これを解の公式で解くとk=(4±√19)/3
    題意よりk≧0なので、( ←厳密には、y=f(A)の軸x=k/2>0(A>0でA軸と
    共有店を持つ条件)よりk>0でなければならないから)
    k=(4+√19)/3
   

(1)2^x-2^y=3・・・(1)
 2^(x+y)=4・・・(2)
 (2)式より、
 2^(x+y)=2^2
 指数部分は等しいから、
 x+y=2
 y=2-xを(1)式に代入
 2^x-2(2-x)=3
 2^x-2^2*2^(-x)=3
 両辺に2^xを掛けると
 2^2x-4=3*2^x
 2^2x-3*2^x-4=0
 (2^x+1)(2^x-4)=0(わかりにくかったら2^x=Aと置いてA^2-3A-4を因数分解)
 2^x=-1,4
 2^x>0より2^x=4=2^2
 よってx=2,y=2-x=2-2=0

(2)4^x+4^(-x)=3を変形していく
 2^2x+2^(-2x)=3
 (2^x+2^(-x))^2-2*2^x*2^(-x)=3(平方完成)
 (2^x+2^(-x))^2=5
 2^x+2^(-x)=±√5
 ここ...続きを読む

Q指数方程式の解

xについての以下の方程式が正の解と負の解をそれぞれ1つずつもつとき、
定数aの範囲を求めよ。

【自分の解答】
2^x =tとおく。 (t>0)

(与式)=t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6=0
2つの解をα、βとすると、解と係数の関係より、
αβ=2a^2 +4a-6=0

[1]αβ<0であればよい。
a^2 +2a-3<0
(a+3)(a-1)<0
-3<a<1

[2]判別式D>0であればよい。
D=a^4 -8a^2-16a+24>0

ここで手詰まりです(>_<)
詳しい解説と解答お願いします。

Aベストアンサー

> [1]αβ<0であればよい。
間違い。→
>2^x =tとおく。 (t>0) …(☆)
なのでα、βは共に正です。→2つの正の解です。
αβ>0
これは必要条件です。

> [2] D=a^4 -8a^2-16a+24>0であればよい。
これは必要条件に過ぎません。

>2つの解をα、βとすると
tの二次方程式
 t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6=0 …(◆)
の2つの解をα、β(0<α<β)とすると
と制限しておかないと駄目ですね。

(☆)より x=log[2]t 
xの解が正と負の1個ずつなので
 log[2]α<0 → α<2
 log[2]β>0 → β>2
の条件から
「0<α<2<β」…(△) となる条件(これは必要十分条件です)を求めればいいです。

これから(◆)の左辺を
 f(t)=t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6
とおくと(△)の必十条件は 次の<1>,<2>を同時に満たすことである。

 <1> f(2)=4(a-(1/2))<0 → a<1/2
 <2> f(0)(=αβ)=2a^2 +4a-6=2(a+3)(a-1)>0 → -3<a<1

aの範囲をまとめると -3<a<1/2

> [1]αβ<0であればよい。
間違い。→
>2^x =tとおく。 (t>0) …(☆)
なのでα、βは共に正です。→2つの正の解です。
αβ>0
これは必要条件です。

> [2] D=a^4 -8a^2-16a+24>0であればよい。
これは必要条件に過ぎません。

>2つの解をα、βとすると
tの二次方程式
 t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6=0 …(◆)
の2つの解をα、β(0<α<β)とすると
と制限しておかないと駄目ですね。

(☆)より x=log[2]t 
xの解が正と負の1個ずつなので
 log[2]α<0 → α<2
 log[2]β>0 → β>2
の条件から
「0<α<2<β」…(△) となる条...続きを読む

Q指数関数 対数関数 log2 [9^x-3^x+2]=aが実数解を持つ時のaの範囲を求めよ。 上の問

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log2 [9^x-3^x+2]=aが実数解を持つ時のaの範囲を求めよ。
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お願い致します。

Aベストアンサー

log[2](9^x-3^x+2)=aということは、2^a=9^x-3^x+2ということ。

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Q数学 対数方程式の解の存在条件

数学 対数方程式の解の存在条件

xの方程式{log2(X^2+√2}^2 -2log2(X^2+√2)+a=0・・・(1)

が実数解を持つとき
(1)aの範囲を求めよ
(2) aが(1)で求めた範囲の値をとる時に(1)の実数解の個数を求めよ。
ただし、aは定数とする

という問題があったのですが、(2)が回答を読んでも理解できません。
(1)はわります。
log2(X^2+√2をTとおくと、Tは2分の1以上・・・(2)

(1)は-T^2+2T=aとあらわすことができ、

放物線Y=-T^2+2T
と直線Y=aの共有点が存在するための条件だから、(2)の条件とあわせて、aの値の範囲というのは1以上・・・(1)の答え
というのはわかります。

問題は(2)です。
解答では、
T=2分1のときX=0・・・(3)

T>2分1のときX^2>0・・・(4)

よって、

a<4分3, a=1のとき2個

a=4分3 のとき 3個

4分3<a<1のとき 4個

というのが解答なのですが、なんでこの答えになるのかがわかりません。
まず、(3)と(4)は式自体は理解できますが、これが個数とどんなかかわりがあるのか
いまいちピンときません。

私は、放物線Y=-T^2+2T
と直線Y=aとの個数だから
a=1, a<4分3のとき1個・・・(5)
4分3<=a<1のとき2個・・・(6)

なのかと思ったのですが、なぜちがうのでしょうか???
T=2分1のときX=0・・・(3)でXは1個の解をもち
T>2分1のときX^2>0・・・(4)なおので2個の解をもつので、
(5)の1個×2=2
(6)の2個×2=4
になったのでしょうか?だとすると3個ってどこからでたのでしょうか??

ちなみに、黄色チャートの数がく2Bの重要例題147です

数学 対数方程式の解の存在条件

xの方程式{log2(X^2+√2}^2 -2log2(X^2+√2)+a=0・・・(1)

が実数解を持つとき
(1)aの範囲を求めよ
(2) aが(1)で求めた範囲の値をとる時に(1)の実数解の個数を求めよ。
ただし、aは定数とする

という問題があったのですが、(2)が回答を読んでも理解できません。
(1)はわります。
log2(X^2+√2をTとおくと、Tは2分の1以上・・・(2)

(1)は-T^2+2T=aとあらわすことができ、

放物線Y=-T^2+2T
と直線Y=aの共有点が存在するための条件だから、(2)の条件とあわ...続きを読む

Aベストアンサー

A=x^2+√2…(あ)
とおく。
また、
B=log(2,A)…(い)
とおく。(※表記注:log(底,真数))
すると、与式は
a=-B^2+2B…(う)
となる。

で、とりあえず、
2つのグラフ
y=-B^2+2B
y=a
の交点を考えてみることにする。
---

図ウで、
a=3/4のとき、
交点は2つ。
すなわち、対応する(式(う)を成立させる)Bの値は2つ存在する。
その値は、1/2と、その他(これをαとする)である。
以下、
『「このようなBの値をとる」ようなxがいくつ存在するか』を考える。
(それこそが、求める個数)

(i) B=1/2のとき
図イより、
これに対応する(式(い)を成立させる)Aは1つ存在する。(A=√2)
図アより、
A=√2のとき、
これに対応する(式(あ)を成立させる)xは1つ存在する。(x=0)
すなわち、
B=1/2のときは、対応する(式(い)を成立させる)xは1個存在する。
(つまり、B=1/2となるようなxは1個)

(ii) B=αのとき
図イより、
これに対応するAは1つ存在する。(このときの値をA=βとしている)
図アより、
このA(=β)に対応するxは「2つ」存在する。
すなわち、
B=αのとき、これに対応するxは2個存在する。
(つまり、B=αとなるようなxは2個)
---

(i),(ii)より、
a=3/4のとき、
これに対応する(式(う)を成立させる)xは
けっきょく3個存在することになる。
---

他の場合も同様に丁寧に考えてみよう。
けっきょく、
地道に図をかいてやるしかない気がします。
(でないと間違う)
---

>私は、放物線Y=-T^2+2T
>と直線Y=aとの個数だから
>a=1, a<4分3のとき1個・・・(5)
>4分3<=a<1のとき2個・・・(6)

その個数は、上記設定でいえば、
「式(う)をみたす『Bの』個数」ですね。
xにまだ到達してません。

A=x^2+√2…(あ)
とおく。
また、
B=log(2,A)…(い)
とおく。(※表記注:log(底,真数))
すると、与式は
a=-B^2+2B…(う)
となる。

で、とりあえず、
2つのグラフ
y=-B^2+2B
y=a
の交点を考えてみることにする。
---

図ウで、
a=3/4のとき、
交点は2つ。
すなわち、対応する(式(う)を成立させる)Bの値は2つ存在する。
その値は、1/2と、その他(これをαとする)である。
以下、
『「このようなBの値をとる」ようなxがいくつ存在するか』を考える。
(それこそが、求める個数)

(i) B=1/2のとき
図イより、
これに対応す...続きを読む

Q指数方程式と対数方程式の解の理論

青チャートII+Bの重要例題158の(2)の問題です。

■aを定数とする。xの方程式 {log[2](x^2+√2)}^2-2*log[2](x^2+√2)+a=0 の実数解の個数を求めよ。■

この問題の解説で、「【log[2](x^2+√2)=t ・・・(1) とするとき x^2≧0 より (x^2+√2)≧(√2)、t≧1/2 】
 (1)を満たすxの個数は t=1/2のとき x=0の1個、 t>1/2のとき x^2>0であるから2個 ~」
・・・とあるのですが。。。

まず、一つ目について。

log[2](x^2+√2)=1/2 →  log[2](x^2+√2)=log[2](√2) だから (x^2+√2)=(√2) で x^2=0 となり

「x^2≧0」という条件があるから「t=1/2のとき x=0の1個」という考えで大丈夫でしょうか??


また、もう一つの「t>1/2のとき x^2>0であるから2個」がさっぱり理解できません;;
なんで2個なの?というのが私の疑問です。。。

「+(プラス)、-(マイナス)」があるから「2個」ということでしょうか?

HELP ME!!!

青チャートII+Bの重要例題158の(2)の問題です。

■aを定数とする。xの方程式 {log[2](x^2+√2)}^2-2*log[2](x^2+√2)+a=0 の実数解の個数を求めよ。■

この問題の解説で、「【log[2](x^2+√2)=t ・・・(1) とするとき x^2≧0 より (x^2+√2)≧(√2)、t≧1/2 】
 (1)を満たすxの個数は t=1/2のとき x=0の1個、 t>1/2のとき x^2>0であるから2個 ~」
・・・とあるのですが。。。

まず、一つ目について。

log[2](x^2+√2)=1/2 →  log[2](x^2+√2)=log[2](√2) だから (x^2+√2)=(√2) で x^2=0 となり

「x...続きを読む

Aベストアンサー

チャートの解答ものすごいなw

以前同じ問題に対して回答したので参考にして。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6188827.html
(No.2の回答のアのグラフね)

図を書くとわかりやすいし間違えにくいので、
図を書く習慣をつけよう。
---

もしくは
数式処理だけで説明するなら

式(1)
⇔x^2+√2=2^t
⇔x^2=2^t-√2
⇔x=±・・・

とまでやって説明する必要があるとおもうけど、
ノートの下書きにはやっぱりグラフは書きたいところ。

重要なのは,
「自分によくわかるように」解答つくる習慣を持つことだよ。


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