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1/√(4x-x^2)の積分がわからず困っています。
分母を置換してもよくわからないです。
教えてください、お願いします。

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A 回答 (2件)

まずルートの中を平方完成


  4x-x^2 = 4-(x-2)^2
x-2=yと置いて置換
  ∫dx/√(4-(x-2)^2) = ∫dy/√(4-y^2)
ルートの中を因数分解
  ∫dy/√(4-y^2) = ∫dy/√((2+y)(2-y))
1/(2+y)を括り出す
  ∫dy/√((2+y)(2-y)) = ∫{1/(2+y)}・√((2+y)/(2-y))dy
z=√((2+y)/(2-y))と置くと
 y = -2(1-z^2)/(2+z^2)
 dy/dz = 12z/(2+z^2)^2
 1/(2+y) = 1/(2-2(1-z^2)/(2+z^2)) = (2+z^2)/(2(1+2z^2))
これで置換をするとzについての有理関数になる。
あとは分母を2次以下に因数分解して、部分分数展開して項ごとに積分。
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この回答へのお礼

わかりやすい回答解説ありがとうございます。
結構、面倒くさいですね。

お礼日時:2008/02/05 17:10

公式集では「2次無理関数」の積分というところに分類されています。


x=u+2 とおくと
1/√(4x-x^2)=1/√(4-u^2), dx=du
となります。u=2*sin(t) とおくと
du/√(4-u^2)=[2*cos(t)*dt]/√[4-4*{sin(t)}^2]=dt
となります。積分すると t となります。t を x に戻します。
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    • 1
この回答へのお礼

スタイリッシュな回答ありがとうございます。
かっこいいやり方ですね。

お礼日時:2008/02/05 17:11

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Q積分 ∫√(4-x^2)dxについて

不定積分の問題なのですが、
∫√(4-x^2)dxの答えがどうしても導けません。
助言をお願いします。

Aベストアンサー

∫√(4-x^2)dx
=4∫(cos(t))^2dt←x=2sin(t),|t|≦π/2とおく。
=2∫(1+cos(2t))dt
=2t+sin(2t)+C
=2 arcsin(x/2)+(x/2)√(4-x^2)+C

ここで、
sin(2t)=2sin(t)cos(t)=2 sin(t)√(1-(sin(t))^2)=
=x√(1-(x/2)^2)=(x/2)√(4-x^2)

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q∫x^2√(4-x^2)dxの積分

∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが,
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を3倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2
よって
∫x^2√(4-x^2)dx=1/4{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}

となりました。途中式・解答はあってますか?よろしくお願いします。

∫x^2√(4-x^2)dxの積分についてです。
以下のように解いて見たんですが,
∫x^2√(4-x^2)dx
=1/3x^3√(4-x^2)-1/3∫x^3√(4-x^2)dx
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-2x/2√(4-x^2)]x^3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[-x^4/√(4-x^2)]3dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫[16-x^4/√(4-x^2)]dx+[16/√(4-x^2)]dx}
=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4+x^2)√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
右辺の∫x^2√(4-x^2)dxを左辺に移動させると
4/3∫x^2√(4-x^2)dx=1/3{x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1x/2}
両辺を3倍して
4∫x^2√(4-x^2)dx=x^3√(4-x^2)-∫(4√(4-x^2)dx+16sin^-1...続きを読む

Aベストアンサー

1行目の第2項の積分の中の「√(4-x^2)」に微分記号が抜けています.
でも,2行目でしっかり微分されているので,OKです.
4行目の第3項に記号∫が抜けていますが,5行目でしっかり積分されているのでOK!
後は合っていますが,最後の答えの中に
  ∫(4√(4-x^2)dx
が残っており,まだ積分の計算は完了していません.
  ∫(4√(4-x^2)dx
の積分は,x = 2sint と置き換えて積分すれば
  ∫(4√(4-x^2)dx = 4 * (1/2){x√(4 - x^2) + 4sin^-1x/2}
が求められますので,計算してみてください.
上記とあわせると,答えは
 ∫x^2√(4-x^2)dx = (1/4)x^3√(4-x^2) - (1/2)x√(4 - x^2) + 2sin^-1x/2
となるはずです.

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Q(x^3/√(x^2+1))の不定積分

申し訳ありませんが、画像を作成しましたので参照して頂ければと思います。

(x^3/√(x^2+1)) の不定積分なのですが
このように式変形したあと、どのように積分し、答えにたどりつくのかがわかりません。

部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

置換積分でできると思います。

∫(x^3/√(x^2+1))dx
=∫x√(x^2+1)dx-∫x/√(x^2+1)dx
ここで、x^2+1=tとおくと、2xdx=dtより、xdx=(1/2)dt
=(1/2)∫t^(1/2)dt-(1/2)∫t^(-1/2)dt
=(1/2)×(2/3)t^(3/2)-(1/2)×2t^(1/2)+C
=(1/3)t^(2/3)-t^(1/2)+C
=(1/3)(x^2+1)√(x^2+1)-√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2+1-3)√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+C

でどうでしょうか?確認してみて下さい。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q次の積分の解き方を教えてください

∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、またどうして∫√(1+x^2)dx=1/2{x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2))}+となるのかを教えてください

Aベストアンサー

← A No.1 補足
不定積分ができたなら、定積分は代入計算にすぎない。
∫√(1+4x^2)dx = (x/2)√(1+4x^2) + (1/4)log(2x+√(1+4x^2)) + (積分定数)
の右辺に、x=2 と x=0 を代入して、引き算しよう。
不定積分を置換積分で計算した後、変数を x に戻さないでいると、
4=tanθ となる θ の値は何だ? という所で、詰まってしまうかもしれないが。

Qある積分の問題。∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|

ある演習問題で
∫1/√(x^2+A)
という形が出てきて、それが解けずに解答を見たら、
∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|
という記述で、この積分の問題は済まされていました。逆算すると、確かにそうなるのですが、なかなかこの形を直接考え出すのは、難しい気がします。…ので、単純な暗記になると思うのですが、覚えにくい形ですよね…。
何か右辺を導き出すような考えの手順のようなものはあるでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

高校範囲だと、#1の方のように、
t = x+√(x^2+A)
という置換を覚えるものです。

∫1/(1+x^2)dx という形をみたら、x=tan(t) と置く、ていうのと同じ感じで、
∫1/√(1+x^2)dx という形をみたら、t=x+√(1+x^2) と置くものなんです。
この積分は、けっこうよく出てくるので、覚えておいて損はないです。

大学生であれば、#2の方のように、x=sinh(t) と置換するってのが常道でしょうけど。

Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
√(x^2+1)=t-x
と、置き換えて積分していくのですが、僕は
√(x^2+1)=t
とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む


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