ベクトルのなす角の調べ方

あるベクトルA（以下〈→A）で表す）＝（a,b）と
ベクトルB（以下〈→B〉で表す）＝（ｃ,d）の
〈→A〉から〈→B〉まで反時計回りに計った角の大きさが180度より大きいか小さいかを調べたいです。

〈→A〉と〈→B〉のなす角が180度より大きい、あるいは小さい時の
a,b,c,dの条件が分かる方、教えてください。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： looker1986 回答日時： 2008/03/02 20:20

ad-bc>0 ⇔ 180度より小さい。

ad-bc<0 ⇔ 180度より大きい。

この回答へのお礼

早速の御回答どうもありがとうございます。

もしよろしければ回答の根拠を教えて頂けるとありがたいです。
よろしくお願い致します。

お礼日時：2008/03/02 20:28

No.2 回答者： age_momo 回答日時： 2008/03/02 20:30

普通は外積を使います。

(3次元に拡張して)
それぞれz座標=0を入れると

〈→A〉(a,b,0),〈→B〉(c,d,0)の外積は
(0,0,ad-bc)
これがz軸+なら反時計回り、-なら時計回りです。
よって

ad>bcなら反時計回り。
ad<bcなら時計回り。
ad=bcなら〈→A〉と〈→B〉は独立ではありません。(直線関係)

参考URL：http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa …

この回答へのお礼

御回答どうもありがとうございます。

すみません、実は今外積の所を勉強中でこの質問をいたしました。

>これがz軸+なら反時計回り、-なら時計回りです。

ここの理由が分からずに困っておりました。
よろしくお願い致します。

お礼日時：2008/03/02 20:45

No.3 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2008/03/02 21:58

#2です。

疑問点はきちんと書いた方がいいですよ。本来、ここは
問題を聞くところではなく、質問者さんの疑問を尋ねるところですから。

>ここの理由が分からずに困っておりました。

ここはむしろそうなるように定義したといった方が正確のように思います。
外積の定義はA(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)に対して

A×B　(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)ですが、逆に
(y2z1-y1z2,z2x1-z1x2,x2y1-x1y2)でも良かったのですから。
そしてその時には正負は逆になりますから、
『こう決めた』でしょう。


後、この例の場合に必ず正になるかということなら
(x1,y1)がy1=mx1なら反時計回りに回るベクトルの成分は
y2>mx2
が成り立つはずですので
x1y2-x2y1>x1(mx2)-x2(mx1)=0
から証明できます。

この回答へのお礼

再度の御回答どうもありがとうございます。

実は前に外積の向きについて質問をしました所、外積の向きは定義だというような意見もありまして、自分としては何となくモヤモヤとした感じが残ったままだったので、外積が3次元だから納得できないのではないかと思い、２次元に直しまして、今度はあえて外積という言葉を使わずに質問させて頂きました。

疑問点が伝わりづらくてすみませんでした。

>x1y2-x2y1>x1(mx2)-x2(mx1)=0

なるほど！２次元の場合はこのように考えればよいのですね！
一歩前進しました。
２次元で質問してみまして良かったです。

正直外積の向きが定義だという考えにまだ違和感を感じています。
２次元でこのようにうまく説明されるのなら３次元でもという思いが
ますます強くなってしまいました。

２次元が分かった所でまた考えを少し整理してみたいと思います。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2008/03/02 23:00