No.3
- 回答日時:
放物線の性質
*形状はx^2の係数で決まる。
[>この問題ではy=2x^2を平行移動したものとなっていますから、
答えもx^2の係数は2です(平行移動しても形状は変わらない)。
*頂点が点(p,q)の放物線はy=a(x-p)^2+qで表される。
[>上でa=2 (x^2の係数が2)と決まっていますから
求める放物線はy=2(x-p)^2+q
あとは条件を使うだけです。
*点(2,4)をとおり
[>4=2(2-p)^2+q
*頂点が直線y=2x-4上にある
[>q=2p-4
あとは以上2式を連立して解くだけです。
4=2(4+p^2-4p)+q
=2(4+p^2-4p)+2p-4
0=p^2-3p
=p(p-3)
p=0、q=-4 、頂点(0,-4)のとき
y=2x^2-4
p=3、q=2、頂点(3,2)のとき
y=2x^2-12x+20
となります。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
まず、放物線y=a x^2をx軸方向にt、y軸方向にsだけ平行移動すると、y=a (x-t)^2+s になること、
そして、放物線y=a (x-t)^2+sの頂点の座標は(t,s)となること、
はご理解されていますでしょうか。
以上のことを理解されていることを前提に解説いたします。
まず、この手の「放物線の式を求める」問題。
放物線の式 y=ax^2+bx+c から、頂点を求めることをこれまでに勉強されたと思いますが、いかがでしょうか。
今度はその頂点を求める作業を反対にすれば、元の放物線の式が求められるのです。
では、「頂点はどこなんだ」ということになりますね。
そこで、問題文を読んでみますと、「直線y=2x-4上にある」と書いてあります。
つまり、頂点P(と呼びます)は、(点Pのx座標とy座標の位置が)y=2x-4を満たす座標にあるのです。
ですから、適当に頂点Pのx座標をtとしましょう(mでもsでも適当な文字でいいです)。
すると、頂点Pのy座標は「y=2x-4」の関係から 2t-4 となりますね?
これで、頂点Pの座標を決めることができました。
P(t,2t-4) です。
ここまではよいでしょうか? では続けます。
さて、頂点が(仮の形ですが)求まりましたので、これを平行移動させた式に代入します。
放物線y=a (x-t)^2+sの頂点の座標は(t,s)でしたから、
頂点P(t,2t-4)のときは、
y=a (x-t)^2+2t-4
となりますね。
おっと、忘れていました。
この放物線(2次関数)は、「放物線y=2x^2を平行移動したもの」という設定でした。すなわち、a=2というのは変わりません。
ですから、先ほどの式は結局、
y=2(x-t)^2+2t-4
というところまで求めることができます。
ここまで行けばもうゴールまでもう少しです。
上の放物線 y=2(x-t)^2+2t-4 は、点(2,4)を通るのですから、
x=2、y=4を放物線の式へ代入するわけです。
代入します。
4=2(2-t)^2+2t-4
=2(t^2-4t+4)+2t-4
移項させて、
2t^2-8t+8+2t-4-4=0
両辺を2で割って計算します。
t^2-3t=0
共通因数tでくくります。
t(t-3)=0
ゆえに、t=0,3
最後に、求められたtの値を代入して放物線の式を求めます。
(i)t=0(頂点Pの座標が(0,-4)のとき)
y=2x^2-4
(ii)t=3(頂点Pの座標が(3,2)のとき)のとき
y=2(x-3)^2+2・3-4
=2(x-3)^2+2 ←ここまででもよい
=2x^2-12x+20 ←問題文によってはここまで書く
以上です。
また何かあれば、補足で説明します。
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