フェルミ準位について

Question

フェルミ・ディラックの分布関数は
f(E)=1/｛exp(E-EF/kT)＋1｝である。
1）Ef/k=5×10^4、T=5×10^2K　とするならば　-∂f/∂E　と　E/k　の関係をグラフに書け。
2）E=Ef＋δ　とすると
　　f(δ)=1-f(-δ)　である。これを証明せよ。

1）は　f(E)　を微分して　∂f/∂E=-1/4kT　まではできたんですけど、そこからどうやったらいいのかわかりません。
固体物理学の本を見ても証明とかは省いてあってできないんです。
どちらかひとつだけでもいいので教えてください。お願いします。

mmky · Accepted Answer

追加の参考まで

(2)の考え方
これは、(E-Ef)の関数だからEf を定数と思えば、
E-Ef＝δ、δが変数だから、
F(E-Ef)≡F(±δ）と書き表せますね。
F(+δ)=｛1/exp(δ/kT)＋1｝
F(-δ)=｛1/exp(-δ/kT)＋1｝

1-F(-δ)＝
1-｛1/exp(-δ/kT)＋1｝=　exp(-δ/kT)/exp(-δ/kT)＋1
両辺を=exp(-δ/kT)で割ると、
=1/1+{1/exp(-δ/kT)}=｛1/exp(δ/kT)＋1｝＝F(+δ)
になるね。｛（1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT) だからだね。}
だから, F(+δ)=1-F(-δ) は正しいね。

phbs · Answer

1)は　1/f(x)の微分は- f'(x)/f(x)^2なので計算間違いじゃないでしょうか。
　　　フェルミディラックの分布関数のおおまかな形はどの統計力学の教科書
　　　にもあるので　接線の傾きが微分であるという基本に立ち返れば微分の
　　　おおまかな形も書けるはずです。
2)は　E-E_Fを原点と取りなおして　f(δ)=1/[exp(δ/kt)+1]とするというよう
　　　な題意ではないかと思います（違ってたらごめん）。そうだとするなら
　　　この証明はただ計算すれば　f(δ)+f(-δ)=1 が示せます。

siegmund · Answer

1) phbs さんの言われるとおり，結果がちょっと変ですね．
単純な計算間違いと言うよりは，∂f/∂E に E=EF を代入しちゃっていませんか？
直接計算で
(a)　　∂f/∂E = - (1/kT) exp[(E-EF)/kT] / {exp[(E-EF)/kT] + 1}^2
ですから，(a)で E=EF とすると -1/4kT になります．

2) これも phbs さんの言われるとおりです．

f(E)
↑
　１─────
　　　　　　　＼
　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　※
　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　　　＼
　０　　　　　　　　　　────
　　　　　　　　　EF　　　　　→ E　
　　　　　　　　　０　　　　　→ δ


どの統計力学(あるいは固体物理学)のテキストにもあるでしょうが，
フェルミ・ディラックの分布関数は上のような形をしています．
(本当は角のところがなまっています)
f(E) はちょうど E=EF のところで f=1/2 になっていて(※のところ)
この点を中心として点対称の形になっています．
変数をδに直して
(b)　f(E) = 1/｛exp(E-EF/kT)＋1｝= 1/｛exp(δ/kT)＋1｝
としたものをあらためて f(δ) と書いています．
厳密な関数記号の使い方からすれば，違う関数記号を使って g(δ) とでも書くべきですね．
f(δ) と書くと，もともとの f(E) の E のところに忠実にδを代入したもの，
という意味になっちゃいますから．
でも，数学以外では(？)，変数を書き換えたのに同じ関数記号をそのまま使うというのは
日常茶飯事です．
どちらを意味しているかは，（　)の中身で区別がつきますから．

phbs さん，二番煎じで失礼しました．

phbs · Answer

なんでE=E_Fの値を代入するのにこだわるのかよく分かりませんが。
書きたいのはつまり　E 対　- ∂f/∂Eのグラフでしょう。

例えて言うなら　y=x^2の微分dy/dxのグラフを書けという問題に
「でも　dy/dx=2x にx=1を代入したら2になるじゃないですか」
というようなもので。確かにそうだけど問題は　y=2xのグラフを書け
ということでしょう。

1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT)になるのは指数関数の定義だとしか言いようがありません。多分わざわざ問題を難しく考えていると思います。

mmky · Answer

phbsさんの指摘もわかるけど、わからないものはわからないんだよね。

＞｛（1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT) だからだね。} 
というのがよくわからないんですけれども教えていただけたら嬉しいです。 
勉強不足ですみません。よろしくお願いします。
回答：
指数の計算方法なのよ。　1/10＝10＾（-1）　1/100＝10＾（-2）が指数の
書きかたなんよ。だからね、exp(-δ/kT)=e＾（-δ/kT）=1/e＾（δ/kT）
をひっくり返すと　1/e＾（-δ/kT）=e＾（δ/kT）になるね。
ということです。
わかったかな。

phbs · Answer

まあ、指数関数の微分ができる人なら指数関数の計算は一から説明しなくても
分かるだろう、と思ってああいう簡単な注意を喚起しただけの書き方にしたん
ですよ。

逆に言えば指数関数の微分ができるのに計算ができないという人がいたら理解
の仕方として何かが決定的におかしいでしょう。

siegmund · Answer

siegmund です．

> EFにおける　∂f/∂E　の値は　-1/4kT　ではないんですか？ 
> フェルミ準位の熱平衡状態における電子の存在確立が1/2だから　E=EF と代入したんですけど。 

問題は
> -∂f/∂E　と　E/k　の関係をグラフに書け。
ですよね．
f が E の関数であるのと同様な意味で，-∂f/∂E も E の関数です．
f と E のグラフを描くときに 
No.2 の私の回答の図の※の値(1/2)だけ出しておしまいにしますか？
そうはしないですよね．
-∂f/∂E についても全く同じことです．
E の関数とみなしてグラフを描かなくっちゃ．
No.4 の phbs さんの前半と同趣旨です．

>>｛（1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT) だからだね。} 
> というのがよくわからないんですけれども教えていただけたら嬉しいです。 

ひょっとして，2^(-2) = 1/(2^2) などがわかっていない？
もともと，べき乗は自然数に対してのみ意味がありました．
で，べき乗の定義から指数法則
(1)　　2^m / 2^n = 2^(m-n) 
が出てきますが，
これも本来は m>n であるような自然数 m,n に対してのみ意味がありました． 
この法則がもっと広い m,n に対して成り立つように 
(2)　　2^0 = 1　　　　　(m=n に相当) 
(3)　　2^(-k) = 1/(2^k)　(m<n に相当) 
と拡張して定義したのです．

フェルミ準位について

1)は 1/f(x)の微分は- f'(x)/f(x)^2なので計算間違いじゃないでしょうか。

この回答への補足

1) phbs さんの言われるとおり，結果がちょっと変ですね．

この回答への補足

追加の参考まで

この回答への補足

なんでE=E_Fの値を代入するのにこだわるのかよく分かりませんが。

phbsさんの指摘もわかるけど、わからないものはわからないんだよね。

まあ、指数関数の微分ができる人なら指数関数の計算は一から説明しなくても

siegmund です．

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