数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(
解決済
- 気になる
- 0
- 件
- 質問日時:
- 回答数:2件
宜しくお願い致します。
[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。
なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。
>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)
どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。
・今回の問題(2)の題意は
fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?
・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?
・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。
遅くなってしまいまして誠に申し訳有りません。
あれから色々と考えました。
フーリエ係数の定義式∫[a to b]f(x)φ_n(x)dx/∫[a to b]φ_n(x)^2dxに代入して
∫[0 to π]f(x)・1dx/∫[a to b]1^2dx=∫[0 to π]f(x)・1dx/π=1/π∫[0 to π]f(x)dx
∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/∫[a to b]cos^2(nx)dx=∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/(1/2[1/ncos(nx)sin(nx)+x]^n_0)
=∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/(1/2(0+π-0-0))=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx
以上よりフーリエ係数が求まったので
f(x)~Σ[n=0..∞]c_nφ_n(x)に代入して
f(x)~2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+2/π∫[0 to π]f(x)cos(1・x)dxcos(1・x)
+2/π∫[0 to π]f(x)cos(2x)dxcos(2x)+2/π∫[0 to π]f(x)cos(3x)dxcos(3x)+…
=2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+Σ[n=1..∞]2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos(nx)
∴a_0=2/π∫[0 to π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos (n=1,2,3,…)
No.1
- 回答日時:
>a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxがどこから出てきたのかよくわかりませんが
f(x) = a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)}
という形に書けるとして、両辺にcos(mx)を掛けて[0,π]で積分すると
∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx = ∫[0,π]{(a_0/2+Σ{a_n*cos(nx)})*cos(mx)}dx
右辺において、∫とΣを交代して
(足してから積分するのではなくて、積分してから足すように変えて)
∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx = ∫[0,π]{a_0/2*cos(mx)}dx + Σ{a_n∫[0,π]{cos(nx)*cos(mx)}dx}
このとき∫[0,π]{a_0/2*cos(mx)}dx=0、またΣの中の∫[0,π]{cos(nx)*cos(mx)}dxに着目すると、
n≠mのときは積分が0になるので第m項以外は消えてしまう
結局n=mの項だけが残り、
∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx = a_m∫[0,π]{cos(nx)*cos(mx)}dx
= a_m∫[0,π]{cos(mx)*cox(mx)}dx
ここで右辺を計算すると
a_m∫[0,π]{cos(mx)*cox(mx)}dx = a_m*π/2
よって
a_m*π/2 = ∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx
a_m = 2/π∫[0,π]{f(x)*cos(mx)}dx
形式的にmをnで書き換えると
a_n = 2/π∫[0,π]{f(x)*cos(nx)}dx
この回答への補足
遅くなってしまいまして誠に申し訳有りません。
あれから色々と考えました。
フーリエ係数の定義式∫[a to b]f(x)φ_n(x)dx/∫[a to b]φ_n(x)^2dxに代入して
∫[0 to π]f(x)・1dx/∫[a to b]1^2dx=∫[0 to π]f(x)・1dx/π=1/π∫[0 to
π]f(x)dx
∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/∫[a to b]cos^2(nx)dx=∫[0 to
π]f(x)cos(nx)dx/(1/2[1/ncos(nx)sin(nx)+x]^n_0)
=∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx/(1/2(0+π-0-0))=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dx
以上よりフーリエ係数が求まったので
f(x)~Σ[n=0..∞]c_nφ_n(x)に代入して
f(x)~2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+2/π∫[0 to π]f(x)cos(1・x)dxcos(1・x)
+2/π∫[0 to π]f(x)cos(2x)dxcos(2x)+2/π∫[0 to π]f(x)cos(3x)dxcos(3x)+…
=2/π∫[0 to π]f(x)dx/2・1+Σ[n=1..∞]2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos(nx)
∴a_0=2/π∫[0 to π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0 to π]f(x)cos(nx)dxcos (n=1,2,3,…)
とお陰様で上手くいきました。
有難うございます。
> >a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
> a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxがどこから出てきたのかよくわかりませんが
この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
> f(x) = a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)}
> という形に書けるとして、
これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
今,fは周期はπだと思うのですが…
あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
次の記述について
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
cos2x=cosx ってなにを聞かれ...
-
以下の問題が示している領域が...
-
積分
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
高校数学 三角関数
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
三角関数で、
-
∮sinθcos^2θを置換積分なしで =...
-
1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積...
-
cos2θ−3cosθ+ 2≧0の不等式を解...
-
0 ≦θ ≦πのとき cos(2θ+π/3)=cos...
-
Σは二乗されないのですか?
-
複素関数で分からない問題があ...
-
cos(θ-π/2)=cos(π/2-θ)になるの...
-
三角関数
おすすめ情報