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半径aの誘電体球(線形常誘電体 P = ε0 χ E)の中心に電荷 q (>0)をおいた。この場合の電気分極を求め、分極電荷密度を求めよ。
という問題なんですが
ρp = -∇・P=-∇・ε0 χ E=0という誤った答えになってしまいます。
よろしければどこが間違っているのかと詳しい計算式を教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

(1)  ρp = -∇・P=-∇・ε0 χ E


は分極電荷の【体積密度】と与える式です.
で,ゼロになるというわけですが,
これは誘電体中(中心を除く)および誘電体外側(つまり真空中)では間違っていません.
ただし,誘電体中心と誘電体表面ではちょっと難しいことになります.
誘電体中心と誘電体表面では電場の E が不連続にジャンプしますから,
そこでの微分(∇)をどうするかが問題です.
δ関数をご存知なら,それを使う.
あるいは積分形にしてガウスの法則を使う,というのがよろしいでしょう.

今の問題では,分極電荷は中心と誘電体表面にのみ存在します.
前者は1点のみ,後者は面のみ,ですから,
無理に体積密度というなら無限大になってしまいます.
    • good
    • 1
この回答へのお礼

この場合はρp = -∇・P=-∇・ε0 χ Eの式は使わないほうがいいんですね。詳しい説明ありがとうございます。助かりました。

お礼日時:2008/05/22 00:45

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Q電荷を与えられた誘電体球について

電荷を与えられた誘電体球について

こんにちは、
手元にある書物「電磁気学演習」
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html)のp.77を見ますと
11.1全電荷Qで一様に帯電された半径a、誘電率εの誘電体球の内、外の電位を求めよ。
とあります。下記の基本的なことを教えてください。
(1)誘電体球には、プラスかマイナスのどちらかの電荷しか、溜まっていないのでしょうね?それとも、誘電体球は、全体で見れば、中性なのでしょか?
http://www.moge.org/okabe/temp/elemag/node30.html
(2)誘電体球に電荷を蓄積させる方法は、例えば下記HPの方法でしょうか?
(3)下記のようなバンデグラフの頭は誘電体球とは呼ばないのでしょうか?
http://www.geocities.jp/jun930/ele/vandegraaf.html
(4)誘電体球に電荷が溜まっている状態は、スポンジ(誘電体球)が水(電荷)を含んだ状態と似たようなものと考えて良いのでしょうか?
(5)誘電体球と導体球の違いは何でしょうか?

電荷を与えられた誘電体球について

こんにちは、
手元にある書物「電磁気学演習」
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html)のp.77を見ますと
11.1全電荷Qで一様に帯電された半径a、誘電率εの誘電体球の内、外の電位を求めよ。
とあります。下記の基本的なことを教えてください。
(1)誘電体球には、プラスかマイナスのどちらかの電荷しか、溜まっていないのでしょうね?それとも、誘電体球は、全体で見れば、中性なのでしょか?
http://www.moge.org/okabe/temp/elemag/node30.html
(...続きを読む

Aベストアンサー

まあ、帯電したと書いてあるので、中性ではないでしょうね。

で、誘電体球と導体球は、全宇宙空間に、単にそれしかないときは同じだと思います。
外部の電場や電荷に対して、その球体とそれが作る電場がどう応答するかが違いますよね。
誘電体は分極できるので。

なので、スポンジは重力で水が分極するといえば、似てなくもないですが、
偏った水がなにか外力を及ぼすわけではないので、似ていないのではないでしょうか。

Q分極ベクトルとは?

分極ベクトルが、いまいちよく分かりません…。

コンデンサーの極板間に誘電体を挿入した時、コンデンサーの極板間に生じる電場に逆らう方向に誘電体内部に弱い電場が生じる。この弱い電場を生じさせているものが、分極電荷。この分極電荷によって、生じる電場によってコンデンサーの持つ電圧が高くなり、電気容量が大きくなる。

というのが、一応僕の理解なのですが、分極ベクトルというのは、この分極電荷が作り出す電気力線のようなもの…なのでしょうか?
分極ベクトルの向きは外(コンデンサーが作る)の電場の向きと基本的に同じになる、と書いてあるのですが、そうすると(分極電荷が作るなら)外の電場と逆向きになると思うのですが…?

特に、分極ベクトルの向きが釈然としません…。ということは、分極ベクトルの定義がよくわかってないのだと思います。。。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

等幅固定フォントで見てください.

┌──────────┐
│          │
│          │ (極板)
│++++++++++│ 真電荷
└──────────┘

┌──────────┐
│- - - - - │ 分極電荷
│          │
│          │ (誘電体)
│          │
│+ + + + + │ 分極電荷
└──────────┘

┌──────────┐
│----------│ 真電荷
│          │ (極板)
│          │
└──────────┘

等幅固定フォントで見てください.

多分ご存知と思いますが,
理想的な平行平板コンデンサーに誘電体を挿入したときの電荷の様子は
上図のようになっています.
真電荷と分極電荷の密度が違う点にも注意してください.
(分極電荷の密度の方が必ず低い)
コンデンサーの極板にある電荷を真電荷と呼んでいます
(分極電荷でない,いう意味と思って結構です).

> コンデンサーの極板間に生じる電場に逆らう方向に誘電体内部に弱い電場が生じる。
> この弱い電場を生じさせているものが、分極電荷。

そのとおりですね.
真電荷が作る電場は上から下へ向いていますが,
分極電荷が作るやつは下から上へ向いています.
だから,内部の電場は誘電体がない場合に比べて弱くなる.
さすがに逆転はしません(分極電荷の密度の方が必ず低いことと対応).

> 分極ベクトルというのは、この分極電荷が作り出す電気力線のようなもの…なのでしょうか?

まあ,大体そうですが,極めて重要な点を誤解されていると思います.
分極ベクトルは分極電荷の【負から正の方へ】向いています.
電場ベクトルと逆ですね!
だから,分極ベクトルは極板にある真電荷が作る電場の向きと同じなのです.
これで,「特に、分極ベクトルの向きが釈然としません」は解決しましたね.
電磁気の入門の授業を持つと,ここを誤解する学生さんは非常に多いです.

あと,細かいことをいうなら,
分極ベクトルにに対応するのは電場ベクトル(にε_0を掛けたもの)です.
D = ε_0 E + P
という式を思い出してください.
ε_0 E と P が同じ次元を持った物理量です.
分極ベクトルの向きをたどってゆくと電気力線に対応する線が描けますが,
これは分極指力線と呼ばれています(この言葉はあんまり使われないようです).

等幅固定フォントで見てください.

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│          │ (極板)
│++++++++++│ 真電荷
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│+ + + + + │ 分極電荷
└──────────┘

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│----------│ 真電荷
│          │ (極板)
│          │
└──────────┘

等幅固定フォントで...続きを読む

Q2つの分子の双極子モーメントの違い

アンモニア(NH3)とフッ化窒素(NF3)は両方ともピラミッド構造ですが、双極子モーメントは4.87*10^30 ,  0.77*10^-30と大きな違いがあるのはどうしてですか?
誰か詳しく知っている方がいたら教えてください。
たぶん水素とフッ素の電気親和力の違いが関係しているように思うのですが。

Aベストアンサー

 #1 さんがお書きの様に,考えないといけないのは「電気陰性度」の大きさと電気双極子の向きです。

 まず,「化学辞典」(東京化学同人)によると,アンモニア(NH3)とフッ化窒素(NF3)の双極子モーメントは 1.48Dと 0.235Dです(D:デバイ,1D=3.33564×10^(-30) C・m)。そして,N,H,Fの電気陰性度は 3.0, 2.1, 4.0 です。

 まず,アンモニア(:NH3,:は孤立電子対)を考えます。電気陰性度の差から,NーH間の電子はN側に片寄っています。片寄りの程度は両者の電気陰性度の差の 0.9 と考えます。この結合が3つありますので,ベクトル的に足し合わせます。

 さらに,窒素上の孤立電子対を考慮しますが。孤立電子対の電気陰性度はありませんが,電気双極子モーメントがN核から孤立電子対側に向かうのは間違いないですから,先のNーH間の電気双極子モーメントの和と同じ向きです。

 結果,分子全体では窒素核から孤立電子対の方向に向いた大きな双極子モーメントが存在する事になります。

 一方,フッ化窒素(:NF3)ですが,この場合はNーF間の電子はNからFに向かう電気双極子を生じます。つまり,NーF結合3本が生じる電気双極子の向きはN核と孤立電子対間の電気双極子の向きと反対になります。そのため,分子全体としては両者が打ち消しあい,フッ化窒素の双極子モーメントは小さくなります。

 いかがでしょうか。

P.S.
「電気親和力」とありますが,「電子親和力」の間違いです。御注意下さい。

 #1 さんがお書きの様に,考えないといけないのは「電気陰性度」の大きさと電気双極子の向きです。

 まず,「化学辞典」(東京化学同人)によると,アンモニア(NH3)とフッ化窒素(NF3)の双極子モーメントは 1.48Dと 0.235Dです(D:デバイ,1D=3.33564×10^(-30) C・m)。そして,N,H,Fの電気陰性度は 3.0, 2.1, 4.0 です。

 まず,アンモニア(:NH3,:は孤立電子対)を考えます。電気陰性度の差から,NーH間の電子はN側に片寄っています。片寄りの程度は両者の電気陰性度の差の 0.9 と考...続きを読む

Qメチルオレンジ(アゾ染料)の合成について

メチルオレンジの合成において、
ジアゾ化に   スルファニル酸,亜硝酸ナトリウム,塩酸,炭酸ナトリウム

カップリングに ジメチルアニリン,氷酢酸,ジアゾ化で生成したジアゾニウム塩 
        (P-ジアゾベンゼンスルフォン酸かな?),水酸化ナトリウム

を用いたのですが、ジアゾ化の炭酸ナトリウムとカップリングの氷酢酸の役割がどうしても分からないので教えて下さい。
できれば、ジアゾ化とカップリングの反応式が有ると分かり易くて有りがたいです。
お願い致します。

Aベストアンサー

 
ANo.#1 で補足要求した rei00 です。

【ジアゾ化の炭酸ナトリウム】
 ume_pyon さんの回答にある様に,「水に溶けにくいスルファニル酸の-SO3Hを-SO3Naにして、水に可溶にするため」です。
 「The Merck Index Tenth Edition」によると,スルファニル酸は難溶で,40 ℃でも 1.94 w/w% しか水に溶けません。また,他の有機溶媒でも適当なものがありません。

【カップリングの氷酢酸】
 この場合もジアゾ化の生成物(p-ジアゾベンゼンスルフォン酸)が冷水には難溶で,温水や塩基,酸には溶けます(上記の「The Merck Index Tenth Edition」より)。しかし,水が共存するとフェノ-ルの副生が伴います。したがって,非水溶性の酸である酢酸を溶媒として使用しているのでしょう。


> 一度-SO3Hから-SO3Naになって、また-SO3Hに戻ったのでしょうか???

 その通りです。最初炭酸ナトリウムで溶解した時点では,ナトリウム塩になっています。反応に際して塩酸を加えますね。この時点で反応液は酸性になり,ナトリウム塩が酸型になります。

 

 
ANo.#1 で補足要求した rei00 です。

【ジアゾ化の炭酸ナトリウム】
 ume_pyon さんの回答にある様に,「水に溶けにくいスルファニル酸の-SO3Hを-SO3Naにして、水に可溶にするため」です。
 「The Merck Index Tenth Edition」によると,スルファニル酸は難溶で,40 ℃でも 1.94 w/w% しか水に溶けません。また,他の有機溶媒でも適当なものがありません。

【カップリングの氷酢酸】
 この場合もジアゾ化の生成物(p-ジアゾベンゼンスルフォン酸)が冷水には難溶で,温水や塩基,酸には溶けます...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q誘電体の境界条件

二つの誘電体ε0とε1について、その境界面に正の真電荷σがある場合は、電束密度によるガウスの法則を考えると、境界条件は
D'dS-DdS=σとできますよね。

私なりの解釈では、境界面に閉曲面をつくり、閉曲面に入ってくる電束密度をD、出て行く電束密度をD'としている。DとD'はそれぞれの誘電体中における電束密度。例えば、Dはε0、D'はε'
→ガウスの法則では入ってくるものにマイナス、出て行くものにプラスをつければ良いのだから、D'dS-DdS=σとなる。
こんな解釈ですけどこれは正しいのですか??

もし、上の解釈が正しいとすれば、なぜ、ε0側におけるDは閉曲面から「入ってくる」と仮定するのですか?+σからは上下どちらに対しても電束が出ているので、Dもやはり閉曲面から出て行くと考えられないですか?

イメージとしては↓の感じです。

↓D ε0 なぜDは上向きじゃないのか?
---------------σ
↓D' ε'

Aベストアンサー

>補足2ですが・・、D1=-D2になりますよね?

符号を含めて考えるなら

>D1-D2=σ   (☆)

より、D1、σ>0として

D1-(-D1)=σ より D1=σ/2。よって、D2=-σ/2。

つまりD1は上向きにσ/2、D2はマイナスなので下向きにσ/2です。

Q平行平板コンデンサーに誘電体を挿入する

平行平板コンデンサー(面積S,距離d、表面の電荷密度qで帯電している)に誘電体をきっちりいれるとき、誘電体が
分極の強さPで誘起されるとき、このコンデンサーの静電容量を求めよ。(ただし両極板は何もつながれていないし、真空の場合の静電容量C。=ε。*S/dは使ってよい)

という問題を考えているのですが、
コンデンサーの間の電場は、極板から電気力線がqS本でていたのが誘電分極で誘起された分pSの分だけ減って、
結局qS-pS本が極板から極板にでているので、
両極板の電位差はqS-pS本の電気力線が出ている場合の真空中のコンデンサーの両極版の電位差と等しいのでこれをVとおくと
V=d(q-p)/ε。
よって帯電している電荷はqsで保存しているので
求める静電容量Cは
C=qS/V=ε。S(q-P)/dと考えたのですが、

何か違うような気がします。
どうか何が違うかご指摘ください

Aベストアンサー

>考え方の方は問題ないでしょうか?
問題ありません、正解です。
ところで、折角ですから少し一般的に議論を展開すると(←蛇足)
誘電率εの誘電体をコンデンサ(電極間距離d、印加電圧V)に入れた場合、電束密度Dは
 D=εE=ε(V/d)=σ  (1) 
と書かれます。誘電体の誘電分極により誘電体表面に蓄えられる分極電荷をσpとすると、コンデンサの両極に於ける見かけ上の総電荷密度σtは、電極の電荷と誘電体表面の電荷は互いに逆符号で消しあうから
 σt=σ-σp  (2)
となります。ところでこれは誘電体をきっちり入れない(真空中の)コンデンサの両端に電荷σtが蓄えられたことと同じ状態と見なすことができますから、
 D=ε0E=ε0(V/d)=σt=σ-σp  (3)
これから
 V=d(σ-σp)/ε。  (4)
また、コンデンサの容量Cは
 C=Q/V=σS/V  (5)
と書けますから、(5)に(4)を入れればCが求まります。
(記号はσ≡q、σp≡pと置き換えて考えてください)

Q電束密度D、電場Eの境界条件について

電束密度D、電場Eの境界条件についての質問をさせていただきます。
DとEの関係はD=εEだと思うのですが、境界条件では境界面に対して平行方向に電場が等しく(E1=E2)、垂直方向に電束密度が等しい
(D1=D2)と書かれています。
DがEの倍数で表せられるのに何故境界条件は垂直方向では
D1=D2、平行方向ではE1=E2となるのか分かりません。
私にはどちらも同じ方向で等しいとして良いように感じています。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

境界を境にして誘電率εが異なるので、単純に「等しい」というわけにはいかないでしょう。
電界の平行成分が等しいというのは、境界(界面)での電位分布が同じ、から
電束の垂直成分が等しいというのは、ガウスの法則(電束の連続条件)から
きていたかと。

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q導体表面の電界

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度をσとし、σのつくる電界をガウスの法則で求めるが、解答をみると
E=σ/2ε0

(某問題3)無限に広い導体平面の上に一様な面密度σの電荷が分布している。。。。。。以下省略。

で、解答中、σによる電界は平面に垂直でその大きさは、
E=σ/ε0

(某問題4)液体の誘電体があり、その液中に導体の板が二枚がある距離をもって向き合っている。そして、導体間に電位差Vがある。2導体の引き合う力を求めよ。

で、+電極の真電荷密度をσ、それに接する液体面の分極電荷密度
をσpとすると、-電極にはそれぞれ、-σ、-σpの電荷が有る。+電極の力を求めるには-電極の-σと-σpがσに及ぼす力を考えればよい。-σと-σpだけがつくる電界は
E=(σ+σp)/2ε0

自分なりに推測したところ、

某問題1と3は、表面に垂直な微小円筒を仮想閉曲面とし、ガウスの法則を適用する。
導体内部では電界はゼロで、導体の外部に出ている閉曲面の部分を考えればよく、また、側面はE・dS=0。
従って、積分が残るのは上面だけであり、E=σ/ε0

某問題2と4では、微小円筒の仮想閉曲面が平面を貫いており、上の1と3における積分が上面と下面になり、
E=σ/2ε0

と考えました。

私の質問は、
・某問題1~4のEの求め方は私の推測で正しいでしょうか?
次に、私の推測が正しいかどうかわかりませんが、
・なぜ、2と4の問題では、下面の積分も残るのでしょうか?
 問題の条件文はそのまま上に書きましたが、私が何度読んでも、4つとも同じ条件に見えてしまいます。
この見極め方を教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/ε
  ___________
|_-__-__-__-__|  電荷の面密度は-σとする。

     E=0

(1)の電場の強さはガウスの法則で求まります。
それはあなたが推測された通りです。

(2)では、+の平板が作る電場と、-の平板が作る電場とを
重ね合わせることによって、そこに生じている電場を求めます。
2つの平板の間では、2つの電場は向きが同じなので、
強めあう重なりになります。
2つの平板の外側では、2つの電場は向きが逆なので、
弱めあう重なりになります。

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+...続きを読む