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No.1
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穴の中心を原点とする球座標(r,θ,φ)を使って考える.
対称性より求める電場はz軸方向以外の成分を持たない.
一様分極Pによって穴の表面に現れる電荷の面密度 σ は,
穴の表面の外向き(誘電体側を内側として)法線ベクトルを n として,
σ = n・P = -P cos θ.
穴の表面の微小面積素は dS = r^2 sin θ dθ dφ.
σ dS が穴の中心につくる電場のz成分は
dE
= σ dS/(4πε0) (-cos θ)/r^2
= -P cos θ r^2 sin θ dθ dφ/(4πε0) (-cos θ)/r^2
= P/(4πε0) cos^2 θ sin θ dθ dφ.
これを積分して
E = ∫dE
= P/(4πε0) ∫[0,2π] dφ ∫[0,π] dθ cos^2 θ sin θ
= P/(2ε0)∫[0,π] dθ cos^2 θ sin θ
= P/(3ε0).
求める電場はPと同じ向きで,
E = P/(3ε0).
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