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- 回答日時:
>幾何分布のr倍だから ということで証明することはいいのでしょうか
いいかどうかは微妙なところです。
負の二項分布は、「r回成功するまでに失敗する回数」なわけですが、
r回成功するまでに失敗する回数 = 1回成功成功するまでに失敗する回数 + 1回目に成功してから2回目に成功するまでに失敗する回数 + 2回目に成功してから3回目に成功するまでに失敗する回数 + … + (r-1)回目に成功してからr回目に成功するまでに失敗する回数
と書けます。ここまでは全く問題ないです。
問題は、
・1回成功成功するまでに失敗する回数
・1回目に成功してから2回目に成功するまでに失敗する回数
・ …
・(r-1)回目に成功してからr回目に成功するまでに失敗する回数
が独立に同じ分布に従う(i.i.d.)
という仮定が自明だと思うかということです。
これを自明だと認めるら、幾何分布のr倍 という証明でOKです。高校の確率統計での2項分布の平均・分散の導出なんかは、まさにこの考えでやってますね。
一方で、これは自明なことではないという人もいると思います。そういう人は、「幾何分布のr倍だから」という証明は受け入れられませんから、真面目に確率密度を出して計算する必要があります。
(真面目に計算した結果、結局、上の仮定が正しいということがわかるわけですが。)
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