中学2年生の子供から、定義と定理ってどう違うの?
と、聞かれあちこちひっくり返して探し説明しようとしましたが、うまく説明できず、わかってもらえませんでした。
どなたか解りやすく教えてください。

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A 回答 (11件中11~11件)

定義は、そのものズバリの説明というか、既定したものです。


3角形の定義は、3辺で囲まれた図形ということでしょうね。
つまり、我々はそれを3角形と言うのですから。

定理は、そのものについて、すでに明かにわかっているものですね。
3角形の3つの角の和は必ず180度になるとか、そういうことですね。
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この回答へのお礼

「うーん、なるほどなるほど・・・へーわかった、でもすごいねこんなに早く答えが返ってくるんだぁ」(中2息子)
「そうだよ、すごいでしょう・・・」(母)
ありがとうございました。今のところ親子の断絶はないようです。おかげさまでした。

お礼日時:2001/02/22 21:42

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数学の問題集に別解ある問題ありますが、その別解と本解の解きやすさの違い見て、解きやすい方を身につけていく方が良くないですか?ちなみに、数学3の場合の話です。記述型のみです。

Aベストアンサー

要するにどちらで説いてもいいんですよ。解く道筋が自分にとってつけやすい方で解いていけばいいです。ただ両方の道筋の付け方を理解することで、違う問題に対しても応用範囲が広がる可能性はあります。

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数学の問題をどなたか解りやすく説明しながら、解いて頂けませんか?

問題)a>0とする。関数 Y=AX2乗-4AX+B(1<=X<=4)の最大値が6で、最小値が-2であるとき、定数A,Bの値を求めよ。


宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

 二次方程式の最大、最小値の候補が頂点、および与えられた範囲の両端であることは判りますか?よく判らなかったら適当な放物線を描き、xの範囲の取り方で最大、最小値が変わることを確認して下さい。
 で、解き方ですが、元の関数を変形して
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これより、この放物線の頂点の座標は(2、-4a+b)であることが判ります。また、x=1のときy=-3b+b、x=4の時y=bになるはずです(元の関数にx=1、あるいは4を代入します)。a>0なのだから
b>-3a+b>-4a+b
であり、与えられた範囲でのyの最大値はb、最小値は-4a+bです。実際の最大、最小値より
b=6
-4a+b=-2
これを解くとa=2となります。

Qブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念であるフラクタルの定義を判りやすく説明してください。

フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念であるフラクタルの定義を判りやすく説明してください。

この前、理学部の院生の方に「フラクタル」って何か教えてもらいました。(専門外のわたしには「へえー」と思うような、たのしい出会いでした。こういう時間ってたのしい 例として挙げてもらったのは、海岸線の計測で、巨視的に描けばほぼ直線になるが、海岸線は微視的にみると複雑に入り組んだ形状をしているが、これを拡大するとさらに細かい形状が見えてくるようになり…対して、地図上の海岸線は、拡大するにしたがって、その細部は変化が少なくなり、なめらかな形状になっていく。理論的には海岸線の計測値は無限であると言える。)。フラクタルとは「図形の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう」

ここらへんまでは直感的に判ったのですが、「海岸線の計測地が無限なわけないでしょ」と思ってしまい、いろいろ聞いているうちに、答えるほうもわたしが判んないもんだから機嫌わるくなっていき。終了。悲劇的結末(汗)

彼は(ほんとはすごく良い人なんだけど)やけくそになって、マンデルブロはフラクタルを「ハウスドルフ次元が位相次元を厳密に上回るような集合」と定義したなんて言ったけど、わかんない。もっとわかりいやすい言葉で定義できないのですかね。(できると思うけど)

ついつい、わたしの専門外のことに興味をもってしまい。聞きこむとが多いのですが、わたに捕まって応えてくれる人たち(ちょっと年配のお兄さんたち)が基礎的な知識なないわたしに理解させようとするのは至難の業のようです(すいません)「あなたの設問そのものが成立してない」なんてしかられる。

フラクタルな性質を持っているといわれる株価や人体の血管、腸の内部構造などの例をあげて説明してくださり、上記のマンデルブログの定義をわたしにもわかる言葉で教えて下さったら、嬉しいです。

わたしの周りにいる理学部のお兄さんたちより、やさしいお兄さんたちがこの世界にたくさん居られることを信じて期待いたしてお待ちしています。どうぞ、よろしくお願いいたします。

フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念であるフラクタルの定義を判りやすく説明してください。

この前、理学部の院生の方に「フラクタル」って何か教えてもらいました。(専門外のわたしには「へえー」と思うような、たのしい出会いでした。こういう時間ってたのしい 例として挙げてもらったのは、海岸線の計測で、巨視的に描けばほぼ直線になるが、海岸線は微視的にみると複雑に入り組んだ形状をしているが、これを拡大するとさらに細かい形状が見えてくるようになり…対して、地図上の...続きを読む

Aベストアンサー

ブラウン運動の例を教えていただきましたが
>D=lnN/ln(1/r)の「Dが2に近ければ近いほどこの線は線的というより
>面的になります」がわからなかったのですけど
>(1) ブラウン粒子が移動する平均距離は、時間の1/2乗に比例すると
>予測する(アインシュタインの予測。こういう予測できる能力ってす
>ごい!)
>(2) 物差しの最小単位を観測する時間間隔と考えて、時間間隔を1/2
>にすれば長さは4倍になる、したがって、フラクタル次元は2となる。
>つまり
>ブラウン運動は1次元の曲線でありながら平面を埋め尽くすフラクタル
>図形になっている。
>という理解でよいのですか?

お返事が遅くなりました。難しい質問をされますね。確かに粒子の存在確率が時間の平方根に比例して広がることと次元は結びついております。その内容はBenoit B. MandelbrotのThe Fractal Geometry of NatureのChapter 25のBrownian Motion and Brown Fractalsに書いてあってペアノ曲線というD=2の線の話から入っています。要約しようと思ったのですが大変面倒で正確にここに書くことが出来ませんでした。お時間があればこの本は日本語訳もあるようですから勉強なさってください。

ブラウン運動の例を教えていただきましたが
>D=lnN/ln(1/r)の「Dが2に近ければ近いほどこの線は線的というより
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>(1) ブラウン粒子が移動する平均距離は、時間の1/2乗に比例すると
>予測する(アインシュタインの予測。こういう予測できる能力ってす
>ごい!)
>(2) 物差しの最小単位を観測する時間間隔と考えて、時間間隔を1/2
>にすれば長さは4倍になる、したがって、フラクタル次元は2となる。
>つまり
>ブラウン運動は1次元の曲線でありながら平面を...続きを読む

Q上極限、下極限の定義を極限の定義と類似の形ですることができることを示す定理

「微分積分学I」(三村征雄 著、岩波全書、1980年度版)のP56 定理25 の証明が分かりません。

この定理25 は上極限、下極限の定義を極限の定義と類似の形ですることができることを示すものです。

定理25 lim sup a(n), n→+∞、=α∈Rであるためには、ε>0が任意に与えられたとき、

殆どすべてのnに対し、 a(n)<α+ε (8)
無限に多くのnに対し、αーε<a(n) (9)

となることが、必要十分である。 (以下省略)

注記: a(n)はa にインデックスのn がついたものです。

というところなのですが、P57の証明では次のようになっています。

lim sup a(n)=α、すなわちlim a(n)バー(aの頭に横棒)
=αとすれば、ε>0が与えられたとき、
殆どすべてのn に対し、αーε<a(n)(aの頭に横棒)<α+ε
となる。a(n)≦a(n)バー であるから、まず(8)が成り立
つ。

ここまでは分かるのですが、

つぎからはさっぱりです。(『・・・』に包んでおきます。)

『つぎに、αーε<a(n) バー=sup{a(m); m≧n}であることか
ら、αーε<a(m(n))∈{a(m); m≧n}であるようなm(n)が存在し、
これらのm(n)のなかには重複するものがあるかもしれないが、
m(n)≧nであるから、重複するものを除いても、無限に多くの
ものが残る。すなわち(9)が成り立つ。』

注記: a(m(n))はa にインデックスm がつき、そのmにさらにインデックスnがついたものです。

あれこれ考えているうちに、次のような証明を思いつきました。
<<・・・>>で包んでおきます。

<<数列a(n)を作っている数の集合をA と表す。
もし、αーε<a(n) を満たすAの要素a(n)が有限個し
かないと仮定する。そのようなa(n)のインデックスnには
最大値が存在する.それをNとすると、
αーε<a(N) 、a(N+1)≦αーε、a(N+2)≦αーε、・・・となる。
よって、A(N)={a(N), a(N+1), ...}, A(N+1)={a(N+1),
a(N+2), ...}, ・・・・・とすると、
(これは上極限、下極限を定義するときの表現と同じです)
これらのどの要素もインデックスが N+1かそれより大きいので、
A(N+1)、A(N+2)、...のどの要素もαーεより大きくなることは
ないのでsupの定義とa(n)バー が単調減少数列になることから、
・・・≦a(N+2)バー ≦a(N+1)バー ≦αーε
これはα≦a(n)バー と矛盾する。故に(9)が成り立つ。>>

以上よりお願いが二つあります。

1.『・・・』について、理解のヒントを教えてもらえるとありがたいです。
2. <<・・・>>について、私の証明を検証してもらえるとありがたいです。

勝手ながらよろしくお願いいたします。

「微分積分学I」(三村征雄 著、岩波全書、1980年度版)のP56 定理25 の証明が分かりません。

この定理25 は上極限、下極限の定義を極限の定義と類似の形ですることができることを示すものです。

定理25 lim sup a(n), n→+∞、=α∈Rであるためには、ε>0が任意に与えられたとき、

殆どすべてのnに対し、 a(n)<α+ε (8)
無限に多くのnに対し、αーε<a(n) (9)

となることが、必要十分である。 (以下省略)

注記: a(n)はa にインデックスのn が...続きを読む

Aベストアンサー

>『つぎに、αーε<a(n) バー=sup{a(m); m≧n}であることか
ら、αーε<a(m(n))∈{a(m); m≧n}であるようなm(n)が存在し、
ーーーーーーーーーーーーーーー
基本事項です。
αーεは、{a(m); m≧n}の上界ではないということです。

Q余弦定理を使ってある辺の長さについての2次方程式を解くとき、そのどちらが解であるかを判定するには?

よろしければ図を描いてみて、考えていただけると幸いです。

△ABCがあり、
cos(B)=1/2, cos(C)=1/√13, AB=4
と与えられています。∠B,∠Cが一意的に決定するということは、∠Aも一意的に決定し、さらに、 AB=4なので△ABCが一意的に決定します。

ここで、BCの長さを求めたいとします。
いろいろな方法があるかもしれませんが、次のアプローチをしてみました。
cos(B)=1/2 より、sin(B)=√3/2,
cos(C)=1/√13 より、sin(C)=2√3/√13,
正弦定理より、AC/sin(B) = AB/sin(C)
これから、AC=√13

BC=xとおいて、余弦定理を使い、
cos(B) = 1/2 = (x^2+16-13)/8x
この2次方程式を解いて、x=1,3

このように2つの解が出ましたが、x=1は不適のようです。
どうしてでしょうか?

上記のやり方を元に、同値変形で、自動的にx=1が除かれるようにしたいのですが、どうすればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

今晩は。
大分前に考えたことがありますので回答します。

△ABCにおいて、AB=c ,AC=b,BC=x とします。
このとき、
「 ∠B<∠C ⇔ b<c ・・・(#) 」 は
初等幾何でよく知られたことです。証明法の一つの「転換法」にて確か証明すると思います。

さて、
三角形ABCは構成できているので xはただ1通りに決まるはずです。
 このようなときに、xを求めるのに「余弦定理」を使うには、∠B,∠Cの角度の内、
 大きい方で余弦定理を使えば、
「正の解と負の解」が必ず1つずつ出てきますので、x=「正の解」ととればよいのです。

それを以下に説明します。

(あ) ∠B<∠C ・・・(*)であるとする。
 大きい角Cに対して「余弦定理」を用いると
 c^2=x^2+b^2-2bx(cosC) ・・・(1)
⇔ x^2-2bx(cosC)+(b^2-c^2)=0 ・・・(2)

ここで上の(#)から  b<c なので b^2-c^2<0 ・・・(3)
 よって xの方程式 (2)は「正の解と負の解」を持ちます。

◎それで 質問者のの問題に、使用すると
 AB=c=4 ,AC=b=√(13)
cosB=1/2 ,cosC=1/√(13) なので ∠B<∠C よって∠Cに余弦定理を使えば、
 4^2=x^2+{√(13)}^2-2x√(13)×(1/√13)
⇔ x^2-2x+(13-16)=0 ⇔x^2-2x-3=0
⇔ (x-3)(x+1)=0
⇔ x=3 ,x=-1 
x>0なのでx=BC=3と求まる。

(い)なお、普通「余弦定理」といっているのは詳しくは「第2余弦定理」のことで、
 
「第一余弦定理」の 「a=b(cosC)+c(cosB)」などがあります。

b=√(13)まで求めたので、これを使えば、

  x=a=√(13)×(1/√(13)+4×(1/2)=1+2=3と直ちに求まります。

◎なお、「第一余弦定理」「a=b(cosC)+c(cosB)」は頂点Aから辺BCに
垂線を引いて図を考えれば、

∠B<∠Cが鋭角だけでなく、片方が鈍角でも成立することが分かります。

あるいは、「第2余弦定理」の cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca 、及び
 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abを b(cosC)+c(cosB)に代入して、
 それがaになることを示す方法もあります。

回答になったか分かりませんが、
以上です。

今晩は。
大分前に考えたことがありますので回答します。

△ABCにおいて、AB=c ,AC=b,BC=x とします。
このとき、
「 ∠B<∠C ⇔ b<c ・・・(#) 」 は
初等幾何でよく知られたことです。証明法の一つの「転換法」にて確か証明すると思います。

さて、
三角形ABCは構成できているので xはただ1通りに決まるはずです。
 このようなときに、xを求めるのに「余弦定理」を使うには、∠B,∠Cの角度の内、
 大きい方で余弦定理を使えば、
「正の解と負の解」が必ず1つずつ出てきますので、x=...続きを読む


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