ベクトルポテンシャル

Question

電流密度の式を導くには、
なぜ、ベクトルポテンシャル（Ａ）を考慮すべきなのか？
自由電子の運動量がｍｖではなく、
ｍｖ＋ｑＡ
となるが、第2項目の意味は何か？

alien55 · Accepted Answer

おそらく、電磁場（真空）内で運動する質量ｍ、電荷ｑの粒子に関する問いだと思います。違っていたらゴメンナサイ。
とにかくこのような系では、電場、磁場をそれぞれE、Bとすると、粒子に働く力は、
　　　　　F ＝ q｛E + (v×B）｝　　　　　　　　　　　　・・・・・・・（１）
なので、これからNewtonの運動方程式を書いていけばこの運動を記述できます。しかし、一般化された運動量Px,Py,Pzは、
ラグラジアンL が解らないと求められないですね、つまり、Px,Py,Pzは、ラグラジアンをそれぞれ、x,y,zの時間微分
x', y', z'(以後このように書きます)で偏微分したものですから。しかし、（１）を見れば解るように、力は速度ｖに
依存していますから、ラグランジアンを「（運動エネルギー）－（ポテンシャル）」から求めるのは非常に難しく、
それよりも逆に、オイラー・ラグランジュの方程式において、上の運動方程式と同値になるようなラグランジアンを見つ
けた方が簡単になります。そのラグランジアンとは、
　　　　　L＝運動エネルギー＋q（x'Ax, y'Ay, z'Az）-qΦ　・・・・・・・（２）
です。これをx', y', z'で偏微分すると、「269nk」さんが書いた運動量、
　　　　　Px＝ｍx'＋qAx,  Py＝ｍy'＋qAy,  Pz＝ｍz'+ qAz ・・・・・・・（３）
が導かれます。
ところで、質問にずばり答えましょう。
この運動量の式のqAの項は、この系が速度に依存した力の場である特色を表しています。
ベクトルポテンシャルＡを考慮する理由は、単に、EとBからAとΦ（スカラーポテンシャル）に代えることで計算が
ラクになるからです。
（注意・・・上文中のF、E、v、B、Φ、Aはベクトルですから、太字にするか矢印が要ります）

siegmund · Answer

質問の言葉遣いからして，
レポート問題(？)をそのまま書いているように思えるのですが.....
違っていたら失礼．

どういう立場の方で，どの程度のレベルの話か，
どこが困っているか，など補足下さい．

siegmund · Answer

siegmund です．
前の回答では大変失礼しました．

さて，alien55 さんが回答書かれていますので，補足を少し．

ベクトルポテンシャルと磁束密度の関係は B = rot A ですから
同じＢを与えるＡは無数にあります(rot grad Λ = 0 だから)．
ゲージの選び方の自由度と称しています．
スカラーポテンシャルの方と合わせて表現すれば，
A → A* = A - grad Λ
φ→ φ* = φ + ∂Λ/∂t
としても，ＥとＢは変わりません．

> ベクトルポテンシャルが、計算するうえで楽なので架空のものを想定したのか、 
> あるいは、 実際、磁場の周りに回転して存在するのか。

上のように見ると，単に計算が楽のためにあるようにも見えます．
それでも，Ｅのポテンシャルが電位(⇔電位差⇔電圧)ですから，
同じような意味でベクトルポテンシャルの存在意味はあります．
ラグランジアン，ハミルトニアンでは直接のＥやＢではなくて
ポテンシャルが入ってきますから，ハミルトニアンをつかう量子力学では
ベクトルポテンシャルが本質的です．

さらに，アハラノフ－ボーム効果というのがあります．
電子の通り道を途中で２つに分けまた一緒にする．
図が書けないので困るんですが，
ドーナツに２本の棒をつけたようなものを想像してください．
ドーナツのところが道が２つに分かれたというところです．
で，分かれた道の中空部(ドーナツの穴)だけに磁場を通します．
電子は中空部を通らないから，磁場のないところばかり通るわけです．
では，磁場を通しても通さなくても同じか？
そうはならなくて，磁場を通すと干渉効果に違いが出てくることが実験で
確かめられています．
実は，磁場はドーナツの穴のところだけでも，
ベクトルポテンシャルは全体に広がっています．
このアハラノフ－ボーム効果は，
電子がＢそのものではなくてＡの効果を感じていることを直接示す実験です．
超伝導での同様な効果はジョセフソン効果として知られています．
そういう意味でも，ベクトルポテンシャルは実在的意味があります．

ベクトルポテンシャル

質問の言葉遣いからして，

この回答への補足

おそらく、電磁場（真空）内で運動する質量ｍ、電荷ｑの粒子に関する問いだと思います。

siegmund です．

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