内部の点から各頂点までの距離がわかっている正三角形の一辺を簡単に出す方法

正三角形ABCの内部に，AP＝5，BP＝4，CP＝3となる点Pがあるとき，この正三角形の一辺の長さをもっとも簡単に出す方法は何でしょうか．

(ア) A(5,0), B(4cosθ,4sinθ), C(3cosθ,3sinθ)とおいてAB＝BC＝CA．
(イ) A(5), B(w), C(z)とおいて|w|＝4，|z|＝3，w－z＝(5－z)(1+√3i)/2．
(ウ) A(r), B(rα), C(rβ), P(w)とおいて(rは実数，αは120°回転，βは240°回転), AP＝5，BP＝4，CP＝3．
(エ) ΔPABをAのまわりに，ΔPBCをBのまわりに，ΔPCAをCのまわりに，それぞれ60°回転した図を描いて面積を出し，それから一辺を出す．

などを試してみましたが，(ア)～(ウ)は計算が繁雑で，(エ)は邪道(?)です．
ほかによい方法がありましたら教えていただけないでしょうか．

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2008/11/12 22:55

ANo.4 stomachmanです。

> どのようにして導出されたのでしょうか

問題の対称性から、きれいな公式になるに違いないと予想できますよね。ならば、知恵のない力ずくでも行けるだろうってんで、直交座標系を導入して
A=(0,0)
B=(t,0)
C=(t/2, (√3)t/2)
P=(xt,yt)
とおけば、題意は
(1) (x^2 + y^2)(t^2) = a^2
(2) ((x-1)^2 + y^2)(t^2) = b^2
(3) ((x-1/2)^2+(y-(√3)/2)^2)(t^2) = c^2
という連立方程式で書けます。
　(1)を使って(2)と(3)から(x^2+y^2)(t^2)の項を消すと、(t^2を定数だと思えば）xだけの一次式がひとつと、xとyの一次式がひとつ得られます。だから、x,yをそれぞれ(t^2)で表せる。これを(1)に代入して整理すれば公式が得られます。ついでに点Pの座標を計算する公式も作れますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
理解できました．
シンプルな方針で一般化できるとは，灯台下暗しでした．

ところで，割に簡単な方法を思いついたので，ついでにこの欄に書いておきます．

α＝4e^(iθ)，β＝3e^(iφ) とします(θ＞φ)．
三点A(α)，B(β)，C(5)　が正三角形をなすので，
β－α＝－(ω^2)(5－α)
⇔α(ω^2)＋βω＋5＝0
⇒(θ＋4π/3)－(φ＋2π/3)＝3π/2
⇔θ－φ＝5π/6
したがって，
AB^2＝|α|^2＋|β|^2－2|α||β|cos(θ－φ)
　　＝16＋9－2*4*3*(－√3)/2
　　＝25＋12√3


みなさまのご協力のおかげで，いろんな角度からこの問題を見ることができました．
初等幾何で補助線一発，という夢はかないませんでしたが，多くを勉強させていただきました．
ありがとうございます．

お礼日時：2008/11/14 14:25

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2008/11/11 20:14

こーゆーのは、公式を作っちゃえば良いんじゃないかなあ。

で、作ってみました。正三角形の一辺の長さをt(t>0)とし、
a=AP
b=BP
c=CP
とすると、

(t^4) - (a^2 + b^2 + c^2)(t^2) + (a^4 + b^4 + c^4 - (ab)^2 - (bc)^2 - (ca)^2) = 0

この、(t^2)に関する二次方程式を解けば、tが得られます。（一緒に、Pが正三角形の外部にある解も出ます。）

この回答へのお礼

ありがとうございます．
とてもきれいな方程式ですね．
これだと万能ですし，何より一般化が素敵．

どのようにして導出されたのでしょうか．

お礼日時：2008/11/12 14:10

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/11/11 04:58

#1,#2です。

>手計算でさらっと出すという方法を探しておりますので…．
>もう，(エ)くらいしかないのでしょうか．
そうですね。
(エ)が最も簡単かもしれませんね。
△PBCをBの周りに60°回転させると、辺BCは辺BAに重なり（CがAに重なり）ます。そのときPの移動先をDとすると、△BPDは一辺4の正三角形になりますので、DP=4,DA=3,PA=5でΔPDAで3平方の定理が成り立つ。
PA^2=5^2=4^2+3^2=DP^2+DA^2
したがって、∠PDA=90°
また、∠PDB=60°だから、∠ADB=90°+60°
cos∠ADB=cos(90°+60°)=-cos30°=-(√3)/2
△ABDで余弦定理を適用して
AB^2=BD^2+AD^2-2*BD*AD*cos∠ADB=4^2+3^2-2*4*3*(-(√3)/2)
=16+9+12√3=25+12√3
∴AB(=BC=CA)=√{25+12√3}

なお、（ア）の方法では
A(5,0),B(4cosθ,4sinθ),C(3cosφ,3sinφ)とおくと
B(4cosθ,4sinθ)=((2/5)(4-3√3),-(2/5)(3+4√3))
とすれば
C(3cosφ,3sinφ)=((3/10)(3-4√3),(3/10)(4+3√3))
と求まります。

B,CはX軸に対称移動しても正三角形（裏返した正三角形）になりますので
B(4cosθ,4sinθ)=((2/5)(4-3√3),(2/5)(3+4√3))
C(3cosφ,3sinφ)=((3/10)(3-4√3),-(3/10)(4+3√3))
でも構いません。

またA#1での計算は以下のように訂正しておいて下さい。
cos(y)=(593-192√3)/1930)√(25+12√3)
y=0.419961[rad]
cos(z)=3{(64√3-69)/1544}√(25+12√3)
z=0.988160[rad]
cos(w)=2(27√3-8)/579)√(25+12√3)
w=0.436927[rad]
x=AB(=BC=CA)=5cos(y)+4cos(z)=√(25+12√3)
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
結局，うまい補助線はないのでしょうかね．
自分で思いついた方法が最速とは信じられないのですが．
思いついた方，よろしくお願いします．

>なお、（ア）の方法では
>A(5,0),B(4cosθ,4sinθ),C(3cosφ,3sinφ)とおくと
>B(4cosθ,4sinθ)=((2/5)(4-3√3),-(2/5)(3+4√3))
>とすれば
>C(3cosφ,3sinφ)=((3/10)(3-4√3),(3/10)(4+3√3))
>と求まります。

ありがとうございます．
私はこの方法では，途中4次方程式が出てきて放り投げてしまいました．
計算の工夫とかありましたら教えていただけないでしょうか．

お礼日時：2008/11/11 12:02

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/11/10 18:27

#1です。

A#1の（オ）の方法自体は合っていると思いますが、
計算結果は自信がありませんので
計算途中で計算ミスをしている可能性があります。
必ずチェックして下さい。

（カ）
PからACに下した垂線の足をD,
PからBCに下した垂線の足をE,
PからABに下した垂線の足をF,
とし、
AD=p,DC=q,CE=u,EB=v,BF=s,FA=r,AB=BC=CA=a
とおくと
x^2+p^2=y^2+r^2=25
x^2+q^2=1z^2+u^2=16
z^2+v^2=s^2+y^2=9
x+y+z=(√3)a/2
p+q=u+v=r+s=a
これらを
0<x,y,z,p,q,r,s<a
の条件で連立方程式を解いて
aを求める方法もあります。
この方法だと手計算でできそうです。
今計算しましたが結果が正しく無いようなのでチェック中です。
計算してみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
ただ，教えていただいた方法でも，計算が繁雑になります．

計算機のないところでもっとも速くかつ正確に正答が出せるのは(エ)になるのでしょうか．

質問の仕方がよくなかったのかもしれません．
補助線の引き方などを聞くべきだったのかもしれません．

お礼日時：2008/11/11 00:21

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/11/10 14:39

(ア)はB,Cのθは同じにならないので間違い。

B(4cosθ,4sinθ), C(3cosφ,3sinφ)とすべきです。

最適方法かは分かりませんが以下の方法で解いて見ました。
（オ)∠PAB=y,∠PBA=z,∠PCA=w,正三角形の一辺の長さ=xとおくと
x=5cos(y)+4cos(z)…(1)
でxが得られる。
△PABでPから辺ABに下した垂線についての式から
5sin(y)=4sin(z)…(2)
△PBCでPから辺BCに下した垂線についての式から
4sin(π/3-z)=3sin(π/3-w)…(3)
△PACでPから辺ACに下した垂線についての式から
3sin(w)=5sin(π/3-y)…(4)
(2),(3),(4)を
0<y<π/3,0<z<π/3,0<w<π/3…(5)
の条件で解くと
y=0.752396[rad}=43.11°
z=0.650158[rad]=37.25°
w=0.505505[rad]=28.96°
x=6.834220
と出てきました。
（関数電卓で計算）
手計算でやればarcsin,arccosや√が入った式になるかと思います。
やってみて下さい。

この回答へのお礼

θ→φ，その通りです．コピペミスです．質問を確定した後気づきました．

なるほど，確かに答は出ますね．
ありがとうございます．

ただ，手計算でさらっと出すという方法を探しておりますので…．

もう，(エ)くらいしかないのでしょうか．

お礼日時：2008/11/10 15:10