最も大きさの小さい数とは

数の中で最も大きさの小さい数字とは何なのでしょうか？
零でしょうか？
そんな数は存在しないでしょうか？

同じような質問ですが最も大きい数字とは？という質問に
$\pm\infty$
と答えるのは答えになっているのでしょうか？
答えは存在しないと答えるのが正しいのでしょうか？

No.5 回答者： indigo8 回答日時： 2008/12/08 11:53

意外に面白いテーマですね。

僕は、すこし考え方を変えてみます。

まず、一番小さな数字とは、限りなく0に近い数字だと言えます。
で、限りなくαに近い数字とは何か? を考えます。

例えば、
1 > 0.999・・・(限りなく1に近い数字)
ですよね?

でも、考え方を変えると、
1 ÷ 3 = 0.333・・・
0.999・・・ ÷ 3 = 0.333・・・
上記式より、
1 ÷ 3 = 0.999・・・ ÷ 3
よって、1 = 0.999・・・ である。

つまり、
限りなくαに近い数字 = α
と証明できます。

つまり、一番小さな数字を0と教えることは、
あながち間違いではないということになります。

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/11/17 13:28

まず「数」とは何かを考えましょう。

いろいろあります。
整数の他にも有理数や実数、複素数などありますし、
数学的にはもっと他の「数的なもの」がいろいろ考えられます。

次に「大きさ」とは何かを考えましょう。
ここで「順序」と「大きさ」を区別する必要があります。

順序というのは「2 数の間の関係」です。
一方、大きさというのは「1 数の量的指標」です。


面倒なので整数で考えると、順序は通常

... < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...

と定められ、最小の整数はありません。-∞ は整数ではありません。

大きさは通常、絶対値で

|-2| = 2
|-1| = 1
|0| = 0
|+1| = 1
|+2| = 2

と定められ、最小の整数は 0 です。


注意するべきは、「他の順序も考えられる」し「他の大きさ」も考えられる点です。
例えば、整数であれば、その剰余によって順序を定めることも可能です。

1 <' 3 <' 15 <' 45 <' ...

(「<'」は「割り切れる」という意味)。この場合は 1 が最小で、0 が最大。

この回答へのお礼

丁寧に有り難うございました。

そもそもの発端は、子供に数を教えていて、２より１が小さく,
さらにそれよりも－１が小さいと教えていました。（つまりお答えの「順序」です）
そこで、子供が体で数字の大きさを表現し初めて、「２はこれくらい」、「１はこれくらい」と徐々に小さくしていき、だから「ー１はこれくらい」と１よりもさらに小さく表現していました。
この場合は、大きさを表していたので、「大きさというのは１も－１も同じなんだよ。だから一番小さいのは０だね」と答えました。
それを見ていた妻が、「０は特別な数字で、無を表すのだから大きさなんて存在しないんだから、大きいとか小さいとか言わないのでは。だから大きさが最も小さいというのも変じゃないか」と言われて、言葉に詰まってしまいました。
まずはぐーぐるに聞いてみたのですが、それらしい答えにたどり着かなかったので、ここで聞いてみました。
なかなか奥が深いので、子供にうまく説明できないです....

お礼日時：2008/11/17 22:37

No.3 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/11/17 11:28

「数」と「数字」は違います。

「数字」は「数」を表すのに使う一種の「図形」です。
「数」で言えば
…-3<-2<-1<0<1<2<3…
ですから、最も小さい「数」は「-∞」です。

この回答へのお礼

お答え有り難うございました。

お礼日時：2008/11/17 22:38

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/17 00:18

「大きさの小さい」とは、どういう意味でしょう。

例えば、－２ と －３ は、どちらが「大きさの小さい」数ですか？
貴方の定義を補足にどうぞ。

「最も大きい数字」については、
十進法ならば、数字は { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } の十個で全部
ですから、最も大きいものは 9 でしょう。
10 以上の数は、ひとつの数字では表せません。

この回答への補足

お答え有り難うございます。
はじめの質問では
「数の大きさ」とは「絶対値」を意味していました。
つまり「絶対値の最も小さい数はなに？」と読み替えることもできました。
しかし、「数の大きさ」の定義には「絶対値」以外にも存在するとしたら、質問を変えて
「数の大きさとはなに？」
ということが疑問になってきました。
教えていただけると助かります。

宜しくお願いします。

補足日時：2008/11/17 00:46

No.1 回答者： orcus0930 回答日時： 2008/11/17 00:14

大きさを絶対値と考えるなら、

絶対値の最小値は0ですね。

また、絶対値に上限は存在しません。
∞は数ではないので、存在しないというのが正しいですね。


この質問が、「大きさって何?」という問いかけなら、
話は変わってきますけど・・・

この回答への補足

お答え有り難うございます。
私の中で「数の大きさ」というのは「絶対値」だけだと思っていました。
もし数学的に「数の大きさ」というのが別に定義として存在するなら、質問を変えて、
「数の大きさって何？」
を教えていただけると、助かります。

宜しくお願いします。

補足日時：2008/11/17 00:36