No.2ベストアンサー
- 回答日時:
たぶんこの問題には、Kは整数とする、または自然数とする、と書いてあると思います。
さらに、K+1にはカッコが付いているはずです。このとき、Kが自然数の時積分範囲は単位円の上半分または下半分となります。Kが偶数のときは上半分で、奇数の時は下半分になります。実際に積分してみましょう。
Kが偶数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは2になります。|sint|を積分しても、2になります。
Kが奇数のとき、sintをこの範囲で積分すると、答えは―2になります。その絶対値は2となります。|sint|をせきぶんすると、2になります。
ちゃんと一致していますね。と言ってもわかりにくいと思うので、成り立たない場合を考えます。
sintをπ/2~3π/2の範囲で積分します。そうすると答えはゼロになります。|sint|を同じ範囲で積分すると、答えは2になります。
グラフを書いてみましょう。関数を積分するということは積分範囲とx軸と関数によって囲まれた面積を求めることと一致します。ただしこれは、積分範囲において関数が正の場合の話で、関数が負の値を取っている範囲ではマイナスが付きます。つまり、グラフをかいて、x軸よりも上にある、x軸と関数によって囲まれた図形の面積をすべて足して、x軸よりも下にある、x軸と関数によって囲まれた図形の面積を引くと、積分した値になるのです。グラフを書いてみると、積分範囲において、sinxの値が常に正、または負の場合、∫|sinx|dx=|∫sinx dx|が成り立つことがわかります。
No.1
- 回答日時:
Kが偶数の場合、
Kπから(K+1)πの範囲でsint>0です。
一方、奇数の場合、
Kπから(K+1)πの範囲でsint<0です。
x>0のとき|x|=x、x<0のとき|x|=-xであることを使って、
Kが偶数の場合と奇数の場合に分けて
左辺、右辺それぞれを計算して比較すれば容易に分かります。
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